Презентация "Дифференциальные уравнения" 2 курс

Слайд #1

Дифференциальные уравнения

Слайд #2

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию её производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения у' = f(x) является функция у = F(x) – первообразная для функции f(x).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае - ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.


ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Основные понятия

Слайд #3

Например,

уравнение у"' - Зу" + 2y = 0 — обыкновенное ДУ третьего порядка;

уравнение 𝑥 2 𝑦 ′ +5𝑥𝑦= 𝑦 2 - первого порядка;

𝑦 𝑧 ′ =𝑥 𝑧 𝑦 ′ - ДУ в частных производных первого порядка.



Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ - интегральной кривой.

Слайд #4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде:
F(x;y; y') = 0.
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию y и ее производную у'. Если уравнение можно разрешить относительно у’ , то его записывают в виде
y' = f(x;y)
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи Ду.

Слайд #5

Это уравнение устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом y' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y' = f(x;y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.


Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по- лучить, если положить у' = с, т. е. f (x;y) = c.

Слайд #6

Общим решением ДУ первого порядка называется функция
у = φ(x; c), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:


Функция φ(x; c) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.


Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной с = со, что функция у = (x; co) удовлетворяет данному начальному условию.

Слайд #7

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция 𝑦=𝜑 х; 𝐶 0 , полученная из общего решения у = φ(х; с) при конкретном значении постоянной 𝐶= 𝐶 0


Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав- Ф(х; у; С) = 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; 𝐶 0 ) = 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения у = 𝜑(x; c) есть семейство Интегральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = φ(x; 𝐶 0 ) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ).

Задача отыскания решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Слайд #8

Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная производная 𝑓 𝑦 ′ (x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ), то существует единственное решение у = 𝜑(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

Слайд #9

(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ,
проходящая через точку ( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ).


Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

Слайд #10

Уравнения с разделяющимися переменными 
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида

P(x) · dx + Q(y) · dy = 0. (48.5)

такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

∫ P(x) · dx + ∫ Q(у) · dy = c - его общий интеграл.

Слайд #11

Пример 48.2. Найти общий интеграл уравнения
x · dx + y · dy = 0.

Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. 𝑋⋅ⅆ𝑥 − 𝑦⋅ⅆ𝑥 = 𝑐 1 или 𝑥 2 2 − 𝑦 2 2 = 𝐶 1 . Обозначим 𝐶 2 = 𝐶 1 .
Тогда 𝑥 2 − 𝑦 2 =𝐶— общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид



P1(x) • Q1(y) • dx + P2(x) • Q2(y) • dy = 0. (48.6)

Слайд #12

Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от x, другая только от у.

Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почленного деления его на Q1(y) . P2(x) ≠ 0. Получаем:

𝑝 1 𝑥 𝑝 2 𝑥 ⋅ⅆ𝑥+ 𝑄 2 𝑦 𝑄 1 𝑦 ⋅ⅆ𝑦=0, ∫ 𝑝 1 𝑥 𝑝 2 𝑥 ⋅ⅆ𝑥+∫ 𝑄 2 𝑦 𝑄 1 𝑦 ⋅ⅆ𝑦=0 - общий интеграл.

Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Q1(y) Х P2(x) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1(y) . P2(x) = 0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.

Слайд #13

2. Уравнение у' = f1(x) · f2(y) также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить 𝑦 ′ = ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 и разделить переменные.
3. Уравнение y' = f (ax + by +c), где а, b, c - числа, путем замены ах + by + c = u сводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Дифференцируя по х, получаем:
ⅆ𝑢 ⅆ𝑥 =𝑎+𝑏⋅ ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 , ⅆ𝑢 ⅆ𝑥 =𝑎+𝑏⋅𝑓 𝑢 ,
откуда следует,
ⅆ𝑢 𝑎+𝑏⋅𝑓 𝑢 =ⅆ𝑥

Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.

Слайд #14

Пример 48.3. Решить уравнение (у+ xy)dx + (х - xy)dy = 0.

Решение: Преобразуем левую часть уравнения:

y · (1 + x) • dx + x · (1 - y) . dy = 0.

Оно имеет вид (48.6). Делим обе части уравнения на ху ≠ 0:
1+𝑥 𝑥 ⅆ𝑥+ 1−𝑦 𝑦 ⅆ𝑦=0

Решением его является общий интеграл x + ln |x| + ln |y| - y = с, т. е.
ln |xy| + x - y = с.

Здесь уравнение Q1(y) · P2(x) = 0 имеет вид ху = 0. Его решения x = 0, y = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения x = 0, y=0 являются особыми.

Слайд #15

Пример 48.4. Решить уравнение у' = − 𝑦 𝑥 , удовлетворяющее условию у(4) = 1.

Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 47.2.

Имеем: ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 =− 𝑦 𝑥 или ⅆ𝑦 𝑦 =− ⅆ𝑥 𝜒 . Проинтегрировав, получим:

In |y| = In |c| - In |x|, т. Е. 𝑦= 𝑐 𝑥 − общее решение ДУ.

Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4;1). Подставим x = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = 𝑐 4 , с = 4

Получаем: y = 4 𝜒 − частное решение уравнения у’ = − 𝑦 𝑥 .

Слайд #16

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель 𝜆 вся функция умножится на на 𝜆 𝑛 , т. е.

f (𝜆 · x; 𝜆 · y) = 𝜆 𝑛 · f (x;y).

Например, функция f(x;y) = 𝑥 2 - 2xy есть однородная функция второго порядка, поскольку

𝑓 𝜆⋅𝑥; 𝜆⋅𝑦 = 𝜆𝑥 2 −2⋅ 𝜆𝑋 ⋅ 𝜆𝑦 = 𝜆 2 ⋅ 𝑥 2 −2𝑥𝑦 = 𝜆 2 ⋅𝑓 𝑥;𝑦

Дифференциальное уравнение y' = f(x; y) (48.7) - называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная функция нулевого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения

Слайд #17

Дифференциальное уравнение

y' = f(x; y) (48.7)

называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная
функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде


𝒚 ′ =𝝋 𝒚 𝒙 (48.8)


► Если f(x;y) — однородная функция нулевого порядка, то, по определению, f(x;y) = f( 𝜆 𝑥 ; 𝜆 𝑦 ). Положив 𝜆= 1 𝑥 , получаем:
𝑓 𝑥;𝑦 =𝑓 𝑥 𝑥 ; 𝑦 𝑥 =𝑓 1; 𝑦 𝑥 =𝝋 𝑦 𝑥
Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)

𝑦 𝑥 =𝑢 или, что то же самое, 𝑦=𝑢⋅𝑥 (48.9)

Слайд #18

Действительно, подставив у = ux и y' = u' x + u в уравнение (48.8),
получаем 𝑤𝑥+𝑢=𝜑 𝑢 или 𝑥⋅ ⅆ𝑢 ⅆ𝑥 =𝜑 𝑢 −𝜑, т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на 𝑦 𝑥 одного уравнения. Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:


Р(x;y) ⋅ dx + Q(x;y) ⋅ dy = 0. (48.10)


ДУ (48.10) будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одинакового порядка. Переписав уравнение (48.10) в виде ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 =− 𝑝 𝑥𝑦 𝑄 𝑥𝑦 и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение 𝑦 ′ =𝜑 𝑦 𝑥 .


При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подстановка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

Слайд #19

Пример 48.6. Найти общий интеграл уравнения ( 𝑥 2 − 𝑦 2 ) · dx + 2xy · dy = 0.

Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х,у) = 𝑥 2 − 𝑦 2 u Q(x; y) = 2xy однородные функции второго порядка.
Положим у = u · х. Тогда dy = x · du + u · dx. Подставляем в исходное уравнение:

( 𝑥 2 − 𝑢 2 𝑥 2 ) · dx + 2x их · х · du + 2x ux u · dx,
𝑥 2 (1 - 𝑢 2 +2 𝑢 2 ) · dx + 2u 𝑥 3 · du = 0,
(1 + 𝑢 2 ) · dx + 2ux · du = 0,

последнее - уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные
ⅆ𝑥 𝑥 + 2𝑢 1+ 𝑢 2 ⋅ⅆ𝑢=0
и интегрируем

In |x|+ In(1 + 𝑢 2 ) = c1, In(|x| . (1 + 𝑢 2 )) = c1, |x|(1 + 𝑢 2 ) = ⅇ 𝑐 1 Обозначим с = ⅇ 𝑐 1 , c > 0. Тогда
|х| . (1 + 𝑢 2 ) = c.

Заменяя u на 𝑦 𝑥 , получаем: 𝑥 2 + 𝑦 2 = cx - общий интеграл исходного уравнения.

Слайд #20

Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (48.8):


𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥𝑦⋅ ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 =0, ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = 𝑦 2 − 𝑥 2 2𝑥𝑦 , 𝑦 ′ = 𝑦 2 𝜒 −1 2⋅ 𝑦 𝑥


Затем положить у = u ⋅ x, тогда у' = u'x + u и т. д.

Замечание. Уравнение вида
𝑦 ′ =𝑓 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦+ 𝑐 1 , где а, b, c, a1, b1, c1 - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные u и v, положив x = u+a, y = u+𝛽, где а и 𝛽 — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.

Слайд #21

Пример 48.7. Найти общий интеграл уравнения (x + 2y + 1) ⋅ dx - (2x + y - 1) ⋅ dy = 0,
т. е. 𝑦 ′ = 𝑥+2𝑥+1 2𝑥+𝑦−1
Решение: Положив x = u + a, y = v + 𝛽, получаем:
𝑦 ′ = ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = ⅆ𝑣 ⅆ𝑢 = 𝑢+𝑎+2𝑣 2𝑢+2𝑢+𝑣+ +2𝛽+1 𝛽−1 = 𝑢+2𝑣+ 𝑎+2𝛽+1 2𝑢+𝑣+ 2𝑢+𝛽−1
Подберем а и 𝛽 так, чтобы
𝑎+2𝛽+1=0 2𝑎+𝛽−1=0
Находим, что а = 1, 𝛽 = −1. Заданное уравнение примет вид
ⅆ𝑣 ⅆ𝑢 = 𝑢+2𝑣 2𝑢+𝑣
и будет являться однородным. Его решение получается, как это показано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив его, следует заменить u и v соответственно на x — 1 и у + 1. В итоге получим (y-x+2)3 = c(x+y) - общий интеграл данного уравнения.

Слайд #22

Линейные уравнения.
Уравнение Я. Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

y' + p(x) . y = g(x), (48.11)

где p(x) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная y' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (48.11) - метод И. Бернулли и метод Лагранжа.

Слайд #23

Пример 48.8. Проинтегрировать уравнение у' + 2xy = 2х.

Решение: Полагаем у = u ⋅ v. Тогда u' ⋅ v + u ⋅ v' + 2x ⋅ uv = 2x, т. е. u' ⋅ v + u・ (v' + 2xv) = 2х. Сначала решаем уравнение v' + 2x ⋅ v = 0:

ⅆ𝑣 𝑣 =−2𝑥⋅ⅆ𝑥, ln 𝑣 =− 𝑥 2 , 𝑣= ⅇ − 𝑥 2

Теперь решаем уравнение u' . ⅇ − 𝑥 2 + u ⋅ 0 = 2х, т. е.

ⅆ𝑢 ⅆ𝑥 =2𝑥⋅ ⅇ 𝑥 2 ,ⅆ𝑢= 2𝑥⋅ ⅇ 𝑥 2 ⋅ⅆ𝑥 , 𝑢= ⅇ 𝑥 2 +𝐶.

Итак, общее решение данного уравнения есть у = u-v = ( ⅇ 𝑥 2 +c) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 , т. Е. 𝑦=1+𝐶⋅ ⅇ − 𝑥 2 .

Слайд #24

Пример 48.9. Решить пример 48.8 методом Лагранжа.
Решение: Решаем уравнение у' + 2ху = 0. Имеем ⅆ𝑦 𝑦 =−2𝑥⋅ⅆ𝑥 или 𝑦=𝐶⋅ ⅇ − 𝑥 2 . Заменяем с на с(x), т. е. решение ДУ у ' + 2ху = 2х ищем в y= с(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 Имеем
y ' = с '(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 + с(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 ⋅ (−2𝑥)
Тогда
с '(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 - 2xc(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 + 2xc(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 = 2x, т.е. с '(x) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 = 2ч
или
𝑐 𝑥 = 2𝑥⋅ ⅇ 𝑥 2 ⋅ⅆ𝑥 , или 𝑐 𝑥 = ⅇ 𝑥 2 + с
Поэтому у = ( ⅇ 𝑥 2 + с) ⋅ ⅇ − 𝑥 2 или у = 1+ с ⋅ ⅇ − 𝑥 2 − общее решение данного уравнения.
Замечание. Уравнение вида (x ⋅ P(y) + Q(y)) ⋅ y ' = R(y), где P(у), O(v), R(v) ≠ 0 - заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, а у — аргументом: x = х(у)
Тогнда пользуясь равенством получаем 𝑦 𝑥 ′ = 1 𝑥 𝑦 ′ , 𝑥⋅𝑃 𝑦 +𝑄 𝑦 𝑥 =𝑅 𝑦 , т.е. 𝑥 ′ − 𝑝 𝑦 𝑅 𝑦 ⋅𝑥= 𝑄 𝛾 𝑅 𝑦 − линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде x = u . v, где u = u(y), v = v(y) - две неизвестные функции.

Слайд #25

Пример 48.10. Найти общее решение уравнения (x + y) - y' = 1.
Решение: Учитывая, что у’= 1 𝑥 ′ от исходного уравнения переходим к линейному уравнению 𝑥 ′ =𝑥+𝑦

Применим подстановку x = uv. Тогда x' = u'v + uv'. Получаем:
u' • v + u • v' = u • v + y, или u' . v + u(v' - v) = y.

Находим функцию v: v' - v = 0, ⅆ𝑣 𝑣 = dy, v = ⅇ 𝑦 .

Находим функцию u: 𝑢 ′ ⋅ ⅇ 𝑦 +𝑢⋅0=𝑦 т. е. u' = y ⋅ ⅇ −𝑦 , или 𝑢= 𝑦 ⅇ −𝑦 ⋅ⅆ𝑦
Интегрируя по частям, находим: 𝑢=−𝑦⋅ ⅇ −𝑦 − ⅇ −𝑦 +𝐶
Значит, общее решение данного уравнения:
x = u • v = −𝑦⋅ ⅇ −𝑦 − ⅇ −𝑦 +𝐶 • ⅇ 𝑦 ,
или x= -y-1 + с . ⅇ 𝑦

Слайд #26

Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида


y' + p(x) . y = g(x) . 𝑦 𝑛 , n ∈ R, n ≠ 0, n ≠ 1 (48.15)


называется уравнением Бернулли.

Слайд #27

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде.
F(x;y; y'; y") = 0 (49.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:
y" = f(x;y;y’). (49.2)

Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): всегда можно перейти к (49.1).

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у = 𝜑(x), рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Слайд #28

Общим решением ДУ (49.2) называется функция у = 𝜑(х;с1;с2), где C1 и C2 - не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. 𝜑(х; с1; с2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения C1 и C2.

2. Каковы бы ни были начальные условия

𝑦 𝑥= 𝑥 0 = 𝑦 0 , 𝑦′ 𝑥= 𝑥 0 = 𝑦′ 0 (49.3)

существуют единственные значения постоянных с1 = 𝐶 1 0 и c2 = 𝐶 2 0 такие, что функция у = 𝜑(x; 𝐶 1 0 ; 𝐶 2 0 ) является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

Слайд #29

Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши).
Если в уравнении (49.2) функция 𝑓 𝑥;𝑦 ;𝑦 ′ и её частые производные 𝑓 𝑦 ′ и 𝑓 𝑦 ′ ′ , непрерывны в некоторой области D изменения переменных 𝑥,𝑦 и 𝑦 ′ , то для всякой точки (хо; yo; y′o) ∈ D существует единственное решение У — 𝜑(x) уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).

Слайд #30

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.
Уравнение вида
𝑏 0 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑏 1 𝑥 𝑦 𝑛−1 +…+ 𝑏 𝑛 𝑥 𝑦 =g(x) (49.11)
где bo(x) ≠ 0, b1(x), ..., bn(x), g(x) - заданные функции (от x), называется линейным ДУ n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x),b1(x),...,bn(x) называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Слайд #31

Линейные однородные ДУ второго порядка
Теорема 49.2. Если функции У1 = y1(x) и y2 = У2(x) частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравнения является также функция

y = c1y1(x) + c2y2(x),

где c1 и c2- произвольные постоянные.
(49.14)
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:
y" + a1(x)y' + a2(x)y = 0
и установим некоторые свойства его решений.

Слайд #32

Функции У1 = У1(х) и y2 = y2(x) называются линейно независимыми на интервале (а; 6), если равенство
𝑎 1 𝑦 1 + 𝑎 2 𝑦 2 =0 (49.15)
где a1, a2 ∈ R, выполняется тогда и только тогда, когда а1 = a2=0.
Если хотя бы одно из чисел a1 или a2 отлично от нуля и выполняется равенство (49.15), то функции у1 и у2 называются линейно зависимыми на (а; b).
Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции y1(x) и y2(x) линейно зависимы на (a, b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Слайд #33

Теорема 49.4. Если функции y1(x) и y2(x) - линейно независимые решения уравнения (49.13) на (a, b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений У1(x) и У2(x) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация
y = 𝑎 1 𝑦 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑦 2 𝑥

Слайд #34

Пример 49.4. Частные решения у1 = sin x и y2 = cos x, у3=2sin и у4 = 5cos x (их бесчисленное множество!) уравнения у" + y = 0 образуют фундаментальную систему решений; решения же у5 = 0 и у6 – cos x - не образуют.

Теорема 49.5 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных решения у1 = у1(x) и y2 = y2(x) ЛОДУ (49.13) образуют на интервале (а; b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция
у = с1у1 + с2у2, где с1 и с2 — произвольные постоянные
Пример 49.5. На основании теоремы 49.5 общим решением уравнения у" +y=0 (см. пример 49.4) является функция y=с1sin x+c2cos x.

Слайд #35

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
y" + p • y' + q • y = 0, (50.1), где р и д постоянны
Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 49.5).
Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде
y = ⅇ 𝒌𝒙

Слайд #36

Где k - некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя функцию два раза и подставляя выражения для у, у и у" в уравнение (50.1), получим 𝑘 2 ⅇ 𝑘𝑥 +𝑝𝑘⋅ ⅇ 𝐾𝑥 +𝑞 ⅇ 𝑘𝑥 =0, т.е.

е 𝑘𝑥 ⋅ 𝑘 2 +𝑝𝑘+𝑞 =0, или 𝑘 2 +𝑝𝑘+𝑞 =0 ( е 𝑘𝑥 ≠0) (50.2)

Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнением ДУ (50.1), заменить у", у и у соответственно на к2, к и 1)
𝒚= 𝑪 𝟏 ⅇ 𝒌 𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐 ⅇ 𝒌𝒙

Слайд #37

Пример 50.1. Решить уравнение у" - 5у' + 6у = 0.

Решение: Составим характеристическое уравнение: 𝑘 2 - 5 + 6 = 0. Решаем его: k1 = 2, k2 = 3. Записываем общее решение данного уравнения: y = 𝐶 1 ⅇ 2𝑥 + 𝐶 2 ⅇ 3𝑥 , где C1 и C2 - произвольные постоянные (формула (50.3)).
Пример 50.2. Решить уравнение у" - 6y' + 25y = 0.

9 k2 Решение: Имеем: k2 - 6k + 25 = 0, k1 = 3 + 4i, k2 = 3-4i. По формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:
y = ⅇ 3𝑥 (c1 cos 4x + c2 sin 4x). (50.5)