Проектная работа учащихся 10 класса

Слайд #1

Исследовательская работа по теме:
«Метод математической индукции как эффективный метод доказательства гипотезы»
Выполнил: ученик 10-А класса
МБОУ СОШ №1
Чаркин Алексей
Руководитель: учитель математики
Марковцева Л.П.




Красногорск, 2020год

Слайд #2

Содержание
I. Введение…………………………………………………….3
II. Из истории возникновения и развития метода математической индукции……………………………4
III. Теоретическая часть………………………………….5-7
1. Дедукция…………………………………………..5
2. Индукция …………………………………………5
3. Метод математической индукции…..6
4. Применение метода мат. индукции..7
IV. Задачи на использование мет. мат. индукции…8-12
V. Приложение…………………………………………………….13-14
1. Вывод……………………………………………………..13
2. Список литературы…………………………….....14

Слайд #3

Введение
Актуальность темы
В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. В математике индукция часто позволяет угадать формулировку теорем, а в ряде случаев и наметить пути доказательств.
Для исследования я выбрал тему « Метод математической индукции», т. к. подробное знакомство с этим методом полезно учащимся не только из-за расширения их кругозора, но также и потому, что на его принципе основано решение многих задач. Мною был изучен принцип математической индукции.
Цель работы:
познакомиться с методом математической индукции, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции.
Задачи работы:
1. Освоить разные методы и методики работы.
2.Обобщить и систематизировать знания по данной теме.
3. Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме.
4. Показать применение данного метода при решении задач различных видов (Прорешать задачи различных видов, применяя данный метод.)
5.Предоставить выводы по данной теме.
Гипотеза
Метод математической индукции приводит только к верным выводам.

Слайд #4

Из истории возникновения и развития метода математической
В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Эйлера: « У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов… И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».
К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623 - 1662) и Декарту (1596 - 1650), а также швейцарскому математику Якобу Бер-нулли (1654-1705).

Слайд #5

Теоретическая часть
1. Переход от общих утверждений к частным называется дедук­цией. В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.
2. Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения, данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Результат, полученный индукцией не является логически обоснованным доказанным т. е. индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.

Слайд #6

3. Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких част­ных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции. В основе данного метода лежит принцип математической индукции.
Если предположение, зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение истинно для любого натурального числа n.
Метод математической индукции - есть эффективный метод доказательства гипотез (утверждений), основанный на использовании принципа математической индукции, поэтому он приводит только к верным выводам.
Методом математической индукции можно решать не все задачи, а только задачи, параметризованные* некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.
*Значение слова «параметризованный». параметризо́ванный. 1. прич. от параметризовать; приобретший, получивший параметр/параметры ◆ Левая и правая части правила — это цепочки параметризованных деревьев, т. е. деревьев, в которых фигурируют параметры.

Слайд #7

4. Метод математической индукции имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел.
Доказательство методом математической индукции состоит из двух этапов.
l-й этап. Проверяем, верно ли утверждение при п = 1 (или при п = р, если речь идет о методе, описанном выше).
2-й э т а п. Допускаем, что утверждение верно при п = k, и, исходя из этого, доказываем, что оно верно и при п = k+1.
Каждый из этих этапов по-своему важен, рассмат­ривая пример P(х)= х2+ х+41, мы убедились, что утверждение может быть верным в целом ряде частных случаев, но неверным вообще. Этот пример убеждает нас в том, насколько важен 2-й этап доказательства методом математической индукции. Опус­тив его, можно прийти к неверному выводу.
! ПОЧЕМУ P(х)= х2+ х+41 неверно вообще? Не показал…

Слайд #8

Задачи на использование метода математической индукции
Доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство

1) Проверим, что это тождество верно при n = 1.

1=1 - верно
2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е.

3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.


Что и требовалось доказать.

Слайд #9

Пример 2

Слайд #10

Пример 3 (Метод математической индукции в задаче на геометрическую прогрессию)

Слайд #11

Пример 4

Слайд #12

Пример 5

Слайд #13

Вывод
Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д. Знакомясь с методом математической индукции, я изучал специальную литературу, анализировал данные и решения задач, пользовался ресурсами Интернета, выполнял необходимые вычисления
В ходе работы я узнал, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции. Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи. Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедился в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Так же в ходе работы приобрел навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.

Слайд #14

Список литературы
1. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.
2.Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение,1989г.
3. Сайт №1: https://www.sites.google.com/site/2nikity2iz9/vopros-otvet
4. Сайт №2: https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция
5. Сайт №3: https://school10.ru/mat_induction.html
6. Видео №1: https://yandex.ru/efir?stream_id=4ff37de85dea55cba1df1d78aa5cb689
7. Видео №2: https://www.youtube.com/watch?v=X_KXgYFCmz0
8. Видео №3: https://www.youtube.com/watch?v=swg3z4Eq8M0