Презентация по слайдам:
Слайд #1
Мастер-класс по теме: «Решение и оформление стереометрических задач профильного уровня при подготовке к ГИА по математике в 11 классе»
Выполнила Гончарова В.Т., учитель математики Свердловской гимназии № 2
Слайд #2
Свойства параллельного проектирования при построении стереометрического чертежа
Внимание! При параллельном проектирование не сохраняются ни углы, ни длины отрезков, ни отношения длин неколлинеарных отрезков (то есть отрезков, которые не лежат на параллельных прямых, или на одной прямой). Поэтому глядя на изображение проекции мы не можем определить соотношение отрезков и углов.
При изображении стандартных геометрических тел на плоскости нужно следить за тем, чтобы ребра и диагонали были все видны и не накладывались друг на друга.
В общем случае удобно строить в такой последовательности.
1. Начинаем с основания фигуры.
Если в основании треугольник, то вне зависимости от вида треугольника рисуем тупоугольный не равнобедренный треугольник,
Слайд #3
:
или такой:
например, такой
Слайд #4
Если в основании прямоугольник или параллелограмм, то чертим параллелограмм. Удобно, чтобы величина острого угла на чертеже была около 30º , в этом случае диагональ не наложится на сторону основания:
Слайд #5
Если в основании трапеция, то чертим не равнобедренную трапецию. Тоже стараемся острый угол сделать поострее:
Если в основании круг, то чертим эллипс:
Слайд #6
Если в основании правильный шестиугольник, то чертим проекцию правильного шестиугольника. Следим за тем, чтобы противоположные стороны шестиугольника были параллельны. Построение проекции правильного шестиугольника, как правило, вызывает наибольшие трудности. Поэтому если в вашем распоряжении есть листок в клеточку, то удобно строить по такому образцу:
Слайд #7
2. Далее, если нужно построить прямую призму или прямой цилиндр, то из всех вершин основания проводим равные между собой вертикальные отрезки - это боковые ребра призмы или образующие цилиндра. В случае построения куба боковое ребро равно длине большей стороны параллелограмма, который изображен в основании:
Слайд #8
Слайд #9
Слайд #10
5. При построении пирамиды или конуса сначала находим примерное расположение проекции вершины на плоскость основания. В треугольнике это может быть точка пересечения медиан, в прямоугольнике или шестиугольнике - точка пересечения диагоналей: Из центра основания проводим вертикальную линию и ставим на ней точку, которая будет вершиной стереометрический фигуры
:
Слайд #11
:
Соединяем вершину стереометрической фигуры с вершинами основания:
Слайд #12
Приведем примеры удачных и неудачных чертежей.
Мы рисуем чертеж крупным, чтобы на нем всё было хорошо видно. Не стоит, как «лучший в мире рисовальщик петухов» Карлсон, изображать крошечного одинокого петушка (или малюсенький кубик) в углу тетради.
Видимые линии изображаем сплошными, невидимые —пунктирными. Если вы решаете задачу векторно-координатным методом, ставьте рядом с точками их координаты. Это удобно.
Иногда одного чертежа недостаточно. Чаще всего для решения задач по стереометрии, кроме «объемного» чертежа, нужен один или несколько плоских.
Слайд #13
Слайд #14
Слайд #15
Необходимо правильно строить высоты в многоугольнике и понимать, где находятся точки касания многоугольника с вписанной в него окружностью.
Например, рассмотрим ромб. Точки касания окружности с серединами сторон ромба совпадают лишь в том случае, когда ромб является квадратом.
Непонимание этого факта и неправильное построение чертежа ведут к тому, что ученик «попадает в плен» к наглядности и особенно часто происходит это при решении именно стереометрической задачи.
Например: Основанием пирамиды является ромб с острым углом в 30º. Каждый двугранный угол при основании пирамиды равен 60º.
Найти площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна h.
Слайд #16
На рисунке неверно изображен линейный угол, что является следствием непонимания того, где находится точка касания окружности, вписанной в ромб. Неправильное изображение чертежа влечет за собой ошибку в решении, которую в дальнейшем сложно найти.
Решение
∆МОК−прямоугольный. <ОКМ=60°,<ОМК=30°,
ОМ=ℎ,следовательноМК= 2ℎ 3 3 ;ОК= ℎ 3 3 .
Значит АD = 2ℎ 3 3 ; 𝑆 бок. = 4AD∙𝑀𝐾= 16 ℎ 2 3 ;
𝑆 осн. = 0,5 𝐴𝐷 2 sin 30° = ℎ 2 3 . 𝑆 пов. = 17 ℎ 2 3 .
Чтобы увидеть ошибку, достаточно внимательно посмотреть на следующий рисунок:
Слайд #17
SABCD - данная пирамида, в основании которой лежит ромб, с острым углом, равным 30°. Каждый двугранный угол при основании равен 60°, а значит основание высоты является центром окружности, вписанной в ромб, с радиусом ОК, ОК ⊥DC.Соединим точки S и К . По теореме о трех перпендикулярах SК⊥ DC и <SKO− линейный угол двугранного угла при ребре DC. <SKO=60°.
𝑆 пов. = 𝑆 бок. + 𝑆 осн.
𝑆 бок. =4 DC∙ SК , 𝑆 осн. = DC∙ВМ.
∆ SKO- прямоугольный, <SKO=60°, 𝑆𝑂=ℎ, SК = ℎ sin 60° =∙;
OK = SO∙𝑐𝑡𝑔60°= ℎ 3 3 ; ВМ = 2ℎ 3 3 ; ВС = 2ВМ = 4ℎ 3 3 ; (катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы). DC =ВС , значит 𝑆 осн. = DC∙ВМ= 4ℎ 3 3 ∙ 2ℎ 3 3 = 8 ℎ 2 3 .
𝑆 бок. =4 DC∙ SК = 4∙ 4ℎ 3 3 ∙ 2ℎ 3 3 = 32 ℎ 2 3 .
𝑆 пов. = 𝑆 бок. + 𝑆 осн. = 32 ℎ 2 3 + 8 ℎ 2 3 = 40 ℎ 2 3 .
Ответ: 40 ℎ 2 3 .
Слайд #18
Теорема о трех перпендикулярах
Имеем плоскость α . В плоскости α лежит прямая b.
АН – перпендикуляр к плоскости α, АМ – наклонная,
МН - проекция наклонной АМ на плоскость α.
По теореме о трех перпендикулярах, наклонная перпендикулярна к прямой b тогда и только тогда, когда ее проекция перпендикулярна к прямой b.
В теореме идет речь трех перпендикулярах. Укажем их:
АH – это перпендикуляр к плоскости α, а значит, к прямой b.
HМ – проекция, перпендикуляр к прямой b.
АМ – наклонная, перпендикуляр к прямой b.
Слайд #19
Слайд #20
Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.
Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).
Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.
