Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Независимые события" (10 класс)

Слайд #1

Независимые собы­тия.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

Бывают события, которые не зависят друг от друга. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на число очков, выпавших на вто­рой кости. Про такие события говорят, что они независимы.
Разумно считать, что события А и В независимы, если наступление одного из них не влияет на вероятность другого.
Если вероятности событий А и В больше нуля, то независимость событий А и В можно выразить равенствами
Р(А|В) = Р(А) и Р(В|А) = Р(В).
Но тогда из известных нам формул получается равенство
Р(А  В) = Р(А)  Р(В).
Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероят­ность их пересечения равна произведению их вероятностей:
Р(А  В) = Р(А)  Р(В).

Слайд #3

Пример 1
Рассмотрим двукратное бросание игральной кости и два события: со­бытие А «в первый раз выпало более трёх очков» и событие В «во второй раз выпало менее трёх очков». Будут ли события А и В независимыми? Элементарные события, благоприятствующие событиям А, В и А  В, представлены в таблицах

Слайд #4

Пример 2
Наудачу выбираем число из ряда 1, 2, 3, 4, ..., 100. Пусть событие А состоит в том, что это число чётное; событие В – что это число делится на 5. Тогда событие А  В состоит в том, что выбранное число делится и на 2, и на 5. Это зна­чит, что выбранное число делится на 10.
Покажем, что события А и В независимы. Нужно найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А  В) и убедиться в том, что выполняется равенство
Р(А  В) = Р(А)  Р(В),
Среди 100 первых натуральных чисел всего 100 : 2 = 50 чётных. Поэтому Р(А) = 50 100 = 0,5.
Среди 100 первых натуральных чисел на 5 делятся числа 5, 10, 15, 20, …, 95, 100 – всего 100 : 5 = 20 чисел. Поэтому Р(В) = 20 100 = 0,2.
Среди первых 100 натуральных чисел всего 100 : 10 = 10 чисел, кратных 10. Следовательно,
Р(А  В) = 10 100 = 0,1.
Таким образом, Р(А  В) = 0,1 и Р(А)  Р(В) = 0,5  0,2 = 0,1.
Получаем, что Р(А  В) = Р(А)  Р(В).
Следовательно, события А и В независимы.

Слайд #5

Пример 3

Слайд #6

Пример 4
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого — 0,6, для второго — 0,8. Чему равны вероятности следующих событий:
C = «оба стрелка попадут в мишень»;
D = «хотя бы один из них попадёт»;
E = «оба стрелка промахнутся»;
F = «хотя бы один из них промахнётся»?
Решение
Из условий нашего опыта следует, что события A и B можно считать независимыми: каждый из стрелков не может повлиять своим выстрелом на результат другого. Поэтому вероятность события C можно вычислить по правилу умножения для независимых событий:
P(C) = P(A  B) = P(A) · P(B) = 0,6 · 0,8 = 0,48.
2. Событие D является объединением событий A и B, поэтому для вычисления вероятности P(D) нужно использовать правило суммы. При этом события A и B могут произойти одновременно, т. е. пересекаются, поэтому используем правило суммы для пересекающихся (совместных) событий:
P(D) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0,6 + 0,8 – 0,48 = 0,92.
Или: P(D) = Р(А)*Р( В ) + Р( А )*Р(В) + Р(А)*Р(В) = 0,6*(1-0,8) +(1-0,6)*0,8+0,6*0,8 = 0,92

Слайд #7

Пример 4 (продолжение)
E = «оба стрелка промахнутся»
F = «хотя бы один из них промахнётся»?
Решение
3. Вероятность события E можно найти двумя способами.
P(E) = P( А  В ) = P( А ) · P( В ) = (1 – P(A))(1 – P(B)) = 0,4 · 0,2 = 0,08.
Или: E = 𝐷 , поэтому P(E) = P( 𝐷 )= 1 – P(D) = 1 – 0,92 = 0,08.
P(F) = P( 𝐶 )= 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52.
Или P(F) = Р(А)*Р( В ) + Р( А )*Р(В) + Р( А )* Р( В ) =
= 0,6*(1-0,8)+(1-0,6)*0,8 + (1-0,6)*(1-0,8) = 0,52

Слайд #8

Пример 5
Из колоды в 36 карт вытягивают одну карту. Будут ли независимыми события A = «вытянут пику» и B = «вытянут даму»?
Для этого нужно найти три вероятности — P(A), P(B), P(A  B) — и проверить выполнение равенства P(A  B) = P(A) · P(B).
Всего карт в колоде — 36, дам — 4, пик — 9, пиковая дама — одна.
Поэтому по классическому определению вероятности получаем:
P(A) = 9 36 = 1 4
P(B) = 4 36 = 1 9
P(A  B) = 1 36
Подставляем найденные вероятности в равенство, которое нужно проверить:
P(A  B) = P(A) · P(B) = 1 4 * 1 9 = 1 36
Равенство выполнено, поэтому события A и B независимы.

Слайд #9

Задание 1

Слайд #10

Задания 2 - 3
№ 2. События U, V и W независимы. Найдите вероятность события U  V  W, если:
а) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,6, P(W) = 0,5;
б) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,3, P(W) = 0,1.
№ 3. События К, L и М независимы. Найдите вероятность события К, если:
а) Р(L) = 0,8, Р(М) = 0,6, Р(К  L  М) = 0,096;
б) Р(L  М) = 0,1, Р(К  L  М) = 0,06.

Слайд #11

Задание 4
Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие С – «число чётное». Являются ли события С и D независимыми, если событие D состоит в том, что:
а) выбранное число делится на 3;
б) выбранное число делится на 5?

Слайд #12

Задание 5
Про случайные события A и B известно, что они независимые и что P(A) = 0,3, P(B) = 0,4.
Найдите вероятности событий Р( А ), Р( В ), Р(A  B), P(A  B).

Слайд #13

Задание 6
В ящике лежит 6 красных и 12 синих шаров. Из него один за другим вынимают 2 шара. С какой вероятностью:
а) оба шара будут красными;
б) оба шара будут синими;
в) шары будут одного цвета;
г) шары будут разных цветов?

Слайд #14

Домашнее задание:
№ 1. События U и V независимы. Найдите вероятность события U  V, если:
а) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,6; б) Р(U) = 0,1, P(V) = 0,8.
№ 2. События К и L независимы. Найдите вероятность события К, если:
а) Р(L) = 0,8, Р(К  L) = 0,48; б) Р(L) = 0,2, Р(К  L) = 0,08.
№ 3. Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что:
а) выпадет число очков, кратное 3;
б) выпадет число очков, кратное 5?
№ 4. коробке лежат 10 фломастеров, из которых 3 уже закончились, а 7 продолжают писать. Фломастеры вытаскивают из коробки один за другим наугад. С какой вероятностью фломастер, который не пишет, появится первый раз третьим по счёту?
№ 5. В корзине 10 красных и 5 зелёных яблок. Из неё наугад извлекают 2 яблока. Какова вероятность, что они разного цвета?