Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Формула полной вероятности" (10 класс)

Слайд #1

Формула полной вероятности.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

Пример 1
В кармане у Макара лежат 6 орехов, 2 из которых пустые. Он вынимает изкармана и раскалывает один за другим 2 ореха. Рассмотрим события:
A = {первый орех будет полным},
B = {второй орех будет полным}.
Чему равна вероятность P(B)?
Если бы мы знали, произошло или нет
событие A, то ответ легко вычислялся бы по классическому определению
вероятности:
P(B|A) = 3 5 , P(B| А ) = 4 5
Но это условные вероятности, а как найти по ним безусловную вероятность P(B)?

Слайд #3

Набор случайных событий Н 𝟏 , Н 𝟐 , …, Н 𝒏 называется полной группой событий, если все эти события попарно несовместны, а их объединение равно множеству всех исходов Ω.


Можно сказать, что полная группа событий — это разбиение множества исходов Ω на непересекающиеся множества. Самым простым (и часто используемым) примером полной группы событий является набор из двух событий: А и А .

Слайд #4

Формула полной вероятности
Формула полной вероятности выражает безусловную вероятность события A через условные вероятности:
P(A) = P( Н 𝟏 ) P(A| Н 𝟏 ) + P( Н 𝟐 ) P(A| Н 𝟐 ) + … + P( Н 𝐧 ) P(A| Н 𝐧 ).
В частном случае, когда полная группа событий состоит из H и Н , эта
формула выглядит так:
P(A) = P(H) P(A|H) + P( Н )P(A| Н )

Слайд #5

Применим эту формулу для вычисления вероятности P(B) в примере 1:
В кармане у Макара лежат 6 орехов, 2 из которых пустые. Он вынимает из кармана и раскалывает один за другим 2 ореха. Рассмотрим события:
A = {первый орех будет полным},
B = {второй орех будет полным}.
Чему равна вероятность P(B)?
P(B) = P(A) P(B|A) + P( А ) P(B| А ) = 4 6 · 3 5 + 2 6 · 4 5 = 2 5 + 4 15 = 10 15 = 2 3

Слайд #6

Пример 2
Готовясь к экзамену, Борис выучил только 15 билетов из 20. Каким по счёту ему лучше заходить на экзамен — первым или вторым?
Назовём те билеты, которые выучил Борис, «счастливыми». Нам нужно сравнить вероятности двух событий:
A = «первый ученик вытащит «счастливый» билет»;
B = «второй ученик вытащит «счастливый» билет».
P(A) = 15 20 = 3 4 , Р( А ) = 5 20 = 1 4
Для события B легко найти условные вероятности:
P(B|A) = 14 19 - второй ученик вытащит счастливый билет, при условии, что первый ученик уже вытянул счастливый билет
P(B| А ) = 15 19 - второй ученик вытащит счастливый билет, при условии, что первый ученик не вытянул счастливый билет
Отсюда по формуле полной вероятности
P(B) = 3 4 · 14 19 + 1 4 · 15 19 = 42 76 + 15 76 = 57 76 = 3 4
Как видите, ответ не изменился. Такой же результат мы получим для третьего, четвёртого и любого другого ученика. Повысить шансы успешной сдачи экзамена можно только одним способом: выучить побольше билетов.

Слайд #7

Пример 3
Смартфоны марки «Бетафон» производятся на трёх заводах. При этом 20% всей продукции выпускает первый завод, 30% — второй, 50% — третий. Процент брака на каждом из этих заводов составляет соответственно 4%, 2% и 1%. Какова вероятность, что случайно выбранный смартфон будет бракованным?
Решение
Введём событие A = «смартфон будет бракованным».
Для вычисления P(A) рассмотрим полную группу событий:
Н 𝟏 = «смартфон был выпущен на первом заводе»;
Н 𝟐 = «смартфон был выпущен на втором заводе»;
Н 𝟑 = «смартфон был выпущен на третьем заводе».
В задаче даны вероятности каждого из этих событий:
P( Н 𝟏 ) = 0,2, P( Н 𝟐 ) = 0,3, P( Н 𝟑 ) = 0,5,
а также условные вероятности:
P(A| Н 𝟏 ) = 0,04, P(A| Н 𝟐 ) = 0,02, P(A| Н 𝟑 ) = 0,01.
Чтобы найти P(A), применим формулу полной вероятности:
P(A) = 0,2 · 0,04 + 0,3 · 0,02 + 0,5 · 0,01 = 0,008 + 0,006 + 0,005 = 0,019

Слайд #8

Слайд #9

Задание 1
В ящике лежит 6 красных и 12 синих шаров. Из него один за другим вынимают 3 шара.
С какой вероятностью:
а) первый шар будет красным;
б) второй шар будет красным;
в) третий шар будет красным?

Слайд #10

Задача 2
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение
Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Тогда, если погода меняется, то её вероятность равна 0,1.
Для погоды на 6, 7 и 8 апреля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х  — хорошая, О  — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,9·0,9·0,1 = 0,081;
P(XOO) = 0,9·0,1·0,9 = 0,081;
P(OXO) = 0,1·0,1·0,1 = 0,001;
P(OOO) = 0,1·0,9·0,9 = 0,081.
Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)  =  0,081 + 0,081 + 0,001 + 0,081  =  0,244.
 
Ответ: 0,244.

Слайд #11

Задача 3
В отдел технического контроля поступает партия, содержащая 20 изделий, среди которых имеется 5 бракованных. Контролёр для проверки отбирает 2 изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью 0,9. Партия бракуется, если среди отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное. Найдите вероятность того, что данная партия изделий будут забракована.

Слайд #12

Задача 3 (решение)
Сначала рассчитаем вероятность извлечения как минимум одного бракованного изделия, не учитывая ещё вероятность обнаружения контролером.
Итак, у нас есть 5 бракованных и 15 нормальных изделий.
Оба изделия бракованные:
Вероятность извлечения первого бракованного изделия: 5 20
Вероятность извлечения второго бракованного изделия (с учётом, что одно уже взято): 4 19
Итак, вероятность того, что оба изделия будут бракованными: 5 20 * 4 19
2. Одно изделие бракованное, а другое — нет:
Вероятность извлечения бракованного изделия и затем хорошего: 5 20 * 15 19
Вероятность извлечения хорошего изделия и затем бракованного: 15 20 * 5 19
Суммарная вероятность: 5 20 * 15 19 + 15 20 * 5 19
Следовательно, общая вероятность извлечь хотя бы одно бракованное изделие, не учитывая вероятность обнаружения брака контролером:
P(хотя бы одно бракованное) = 5 20 * 4 19 + 5 20 * 15 19 + 15 20 * 5 19 = 5 20 * 4 19 + 2 * 5 20 * 15 19

Слайд #13

Задача 3 (решение)
Теперь учитываем, что контролер обнаруживает брак с вероятностью 0,9.
Если он извлекает только одно бракованное изделие, он обнаружит его с вероятностью 0,9.
Если он извлекает два бракованных изделия, тогда вероятность обнаружения хотя бы одного из них равна: 0,9*0,9+0,9*0,1+0,1*0,9 = 0,99.
Получаем окончательное выражение для вероятности забраковки:
P(партия забракована) = P(хотя бы одно бракованное) * P(контролер обнаружит брак) = 5 20 * 4 19 *0,99 + 2 * 5 20 * 15 19 *0,9 =
= 99 1900 + 27 76 =0,0521+0,3553= 0,4074

Слайд #14

Домашнее задание:
Выучить правила и формулы § 10 п.2
Выполнить в тетради.
В долине Стабильности бывают только дождливые и солнечные дни, причём с вероятностью 0,9 на следующий день сохраняется та же погода, которая была в предыдущий. 1 мая был дождь. С какой вероятностью 5 мая будет солнце?
2. Из десяти студентов, пришедших на экзамен, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров — только 15, а остальные выучили все 30 билетов. Знание билета гарантирует сдачу экзамена профессору Злобину с вероятностью 0,85, а незнание — только 0,1. С какой вероятностью случайно вызванный студент сдаст экзамен?