Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Комбинаторное правило умножения" (10 класс)

Слайд #1

Комбинаторное правило умноже­ния.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

Определение
При большом числе комбинаций для их подсчёта используют специальные комбинаторные правила, главным из которых является правило умножения.
Сформулируем его сначала для двух элементов: если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент — b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет равно a · b.
Вернёмся к примерам, в которых мы перечисляли различные комбинации, и попробуем найти их количество без перечисления, пользуясь сформулированным правилом.

Слайд #3

Пример 1
Сколько двузначных чисел можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2?
Решение
Подсчитаем количество комбинаций по правилу умножения: первую цифру для такого числа можно выбрать двумя способами (это 1 или 2); после этого вторую цифру можно выбрать тремя способами (0, 1 или 2).
Всего таких комбинаций будет 2 · 3 = 6.

Слайд #4

Пример 2
Государственные регистрационные автомобильные номера состоят из буквы, трёх цифр, ещё двух букв и номера региона. Буквы и цифры могут повто­ряться. Буквы берутся не всякие. Можно использовать только 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, X. Цифры можно брать любые – от 0 до 9. Номер региона на автомобильном номере в Ново­сибирской области может быть 54 или 154.
Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в Но­восибирской области?
Будем рассуждать так же, как и в предыдущем примере: первую букву мож­но взять одну из 12. Первую цифру берём одну из 10, вторую – снова одну из 10 и третью – снова одну из 10. Затем две буквы подряд. Каждая выбирается из 12 разрешённых букв. И наконец, номер региона. Он может оказаться одним из двух.
12  10  10  10  12  12  2 = 2  103  123 = 3 456 000.

Слайд #5

Правило умножения

Если комбинация должна состоять из k элементов и при этом первый элемент в комбинации можно выбрать 𝒂 𝟏 способами, после чего второй элемент — 𝒂 𝟐 способами, третий элемент — 𝒂 𝟑 способами и т. д., то общее число таких комбинаций будет равно произведению k сомножителей:
𝒂 𝟏 ・ 𝒂 𝟐 ・ 𝒂 𝟑 ・ … ・ 𝒂 𝒌 .

Слайд #6

Задача 1. Сколько трёхбуквенных слов можно составить, используя только буквы А и Б?
Решение
Первую букву такого слова можно выбрать двумя способами, вторую — также двумя способами и третью — тоже двумя. Всего таких комбинаций будет 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8.

Слайд #7

Задача 2. Сколько слов можно составить из букв А, Г, Л, Р, переставляя их между собой?
Решение
Первую букву можно выбрать четырьмя способами, после этого вторую — тремя способами (первую выбрать уже нельзя), третью — двумя способами и, наконец, четвёртую — только одним.
Всего таких комбинаций будет 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Слайд #8

Задача 3. Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры разные?
Решение
Первую цифру шестизначного числа можно выбрать 9 способами, так как нельзя выбирать 0. После этого вторую цифру — тоже 9 способами, поскольку нельзя использовать ту цифру, что была выбрана первой. Следующую цифру — 8 способами, затем — 7 способами и т. д. Всего таких чисел будет
9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136 080.

Слайд #9

Задача 4. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из восьми цифр 0 и 1, например:
01000110 — код буквы F;
00110010 — код цифры «2» и т. д.
Сколько различных символов можно закодировать таким образом?
Другими словами, сколько существует двоичных кодов длины 8?
Решение
Первую цифру кода можно выбрать двумя способами, после чего вторую цифру — тоже двумя способами и т. д.
Всего получаем 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 8 = 256 различных двоичных кодов.
Именно столько различных символов содержит таблица ASCII, которая использовалась для компьютерного кодирования символов ещё с 60-х годов прошлого века.

Слайд #10

Задача 5. Сколько различных натуральных делителей имеет число
N = 3 5 · 5 2 · 7 3 ?
Решение
Данное произведение является разложением числа N на простые множители. Это значит, что любой делитель d числа N записывается в виде d = 3 𝑥 · 5 𝑦 · 7 𝑧 ,
где x, y, z — целые числа, для которых
0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Таким образом, для выбора показателя степени x у нас 6 вариантов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), для выбора y — 3 варианта (0, 1, 2), для выбора z — 4 варианта (0, 1, 2, 3).
Общее количество вариантов для выбора тройки x, y, z вычисляется по правилу умножения:
6 ∙ 3 ∙ 4 = 72. Столько же будет и делителей.

Слайд #11

Задача 6. Сколько можно составить троек, выбирая:
а) первый предмет из 4, второй из 8, а третий из 5 предметов;
б) первый предмет из 7, второй из 4, а третий из 9 предметов;
в) первый предмет из 5, второй из 13, а третий из 21 предмета;
г) первый предмет из 8 предметов, второй и третий из оставшихся после вы­бора предыдущих?

Слайд #12

Задача 7. В автоматических камерах хранения на железнодорожных вокзалах применя­ется шифр, который состоит из одной буквы и трёх цифр. Буквы берутся от А до К, исключая буквы Ё и Й, а цифры могут быть любыми – от 0 до 9. Например, Д195.Сколько можно составить различных шифров?

Слайд #13

Домашнее задание:
1. Сколько можно составить пар, выбирая:
а) первый предмет из 4, а второй из 8 предметов;
б) первый предмет из 6, а второй из 3 предметов;
в) первый предмет из 15, а второй из 12 предметов;
г) первый предмет из 10 предметов, а второй из всех оставшихся после вы­бора первого предмета?
2. Сколько различных натуральных делителей имеет число 2024?
3. Сколько существует двоичных последовательностей длины:
а) 3; б) 5; в) 10; г) 16.