Урок 27. Отношение площадей подобных треугольников(8 класс)

Слайд #1

Урок 27
Геометрия 8 класс

Слайд #2

Вопросы
Какие отрезки называются пропорциональными?
Какие треугольники называются подобными?
Как биссектриса треугольника делит противоположную сторону?

Слайд #3

Найдите отношение отрезков
А
В
С
D
АB
CD
=
7
5
7 cм
5 см
?
CD
AB
=
5
7
?

Слайд #4

Найдите отношение отрезков
А
В
С
D
АB
CD
=
4
3
2 дм
15 см
?
CD
AB
=
3
4
?

Слайд #5

Найдите отношение отрезков
А
В
С
АС
CВ
=
4
3
4 cм
3 см
?
ВС
АС
=
3
4
?
АС
АВ
=
4
7
?
АВ
ВС
=
7
3
?

Слайд #6

Найдите отношение сходственных сторон треугольников
А
В
С
АВ
DE
=
7
5
14 cм
10 см
?
D
E
F
72
0
72
0
68
0
68
0
40
0
40
0
12 см
11 см
?

Слайд #7

Найдите отношение сходственных сторон треугольников
А
В
С
АС
МК
=
6
5
18 cм
10 см
?
Р
К
М
35
0
60
0
60
0
85
0
85
0
35
0
15 см
17 см
?

Слайд #8

Найдите отношение сходственных сторон треугольников
А
В
С
ВС
МР
=
15
23
15 cм
25 см
?
Р
К
М
50
0
60
0
70
0
50
0
60
0
70
0
20 см
23 см
?

Слайд #9

Дано: AD – биссектриса ∠А ∆АВС
Найти: BD : DC
А
В
С
ВD
DC
=
12
16
12
?
16
D

Слайд #10

Проверка домашнего задания
Учебник стр. 165 -166
п. 63 - п. 64;
№ 641(в), № 643(б), № 644

Слайд #11

№ 641(в)
АВ = 6, ВD = 12 и ММ₁ = 1, М₁М₂ = 2
АВ ММ₁ = ВD М₁М₂
6 1 = 12 2
6 = 6
пропорциональны.

Слайд #12

№ 643(б)

Дано:∆АВС,BD- биссектриса,
АВ = 30, АD = 20, ВС = 16
Найти: DC =?
Решение:
Т.к BD- биссектриса в ∆АВС, то АD АВ = СD ВС

20 30 = СD 16

СD = 20 ∙ 16 30 = 320 30 = 10 2 3 см

Ответ: 10 2 3 см
16
20
?
30

Слайд #13

№ 644

Дано:∆АВС,BD- биссектриса,
AB = 14 см, ВC = 20 см, AC = 21 см
Найти: ВD и DС ?
Решение:
1) ВD = х, DС = ВС – ВD = 20 – х.

2) Т. к АD- биссектриса в ∆АВС, то
АВ АС = ВD СD или 14 21 = х 20 – х
21х = 14(20 - х)
21х = 280 – 14х
35х = 280
х = 8
3) ВD = 8 см, DС = 20 – 8 = 12 см.

20 см
Ответ: ВD = 8 см, DС = 12 см.
14см
21 см
?
?

Слайд #14

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∠𝐴=∠ 𝐴 1 , ∠𝐵=∠ 𝐵 1 , ∠𝐶=∠ 𝐶 1
Число 𝒌, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1
=𝑘
∆𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏

Слайд #15

Отношение площадей(периметров) подобных треугольников
… 01. 24
Классная работа

Слайд #16

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Док – во:
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 ,
𝑘 – коэффициент подобия.
𝑆
𝑆 1
∠𝐴=∠ 𝐴 1 ,
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
𝑆 𝑆 1 = 𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 ∙ 𝐴 1 𝐶 1 .
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 =𝑘,
𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 =𝑘,
𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 ∙𝐴 1 𝐶 1 = 𝑘 2 .
Следовательно, 𝑆 𝑆 1 = 𝑘 2 .
𝑆 𝐴𝐵𝐶 =𝑆,
𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝑆 1 .
Дано:
Док – ть:
𝑆 𝑆 1 = 𝑘 2 .

Слайд #17

Задача 654 . Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Док – во:
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 ,
𝑘 – коэффициент подобия.
Р
Р 1
Следовательно, Р Р 1 = 𝑘.
Р 𝐴𝐵𝐶 =Р,
Р 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = Р 1 .
Дано:
Док – ть:
Р Р 1 = 𝑘.
∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 ⇒ 𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 =𝑘
𝐴𝐵= 𝑘 𝐴 1 𝐵 1
𝐵𝐶 = 𝑘 𝐵 1 𝐶 1
𝐴𝐶= 𝑘 𝐴 1 𝐶 1
AB+ВC + АС = 𝑘 (𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 )
Р 𝐴𝐵𝐶 = 𝑘 Р 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 .

Слайд #18

Решаем в классе
Учебник стр. 166 -167
№ 651, № 655, № 652, № 649

Слайд #19

№ 651
Дано: ∆𝐀𝐁𝐂~∆ 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 , 𝐀𝐁 = 9 м, 𝑺 АВС = 75 м², 𝑺 А₁В₁С₁ = 300 м²
Найти: 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 = ?
Решение:

𝑺 𝑺 𝟏 = 𝒌 𝟐 , 𝟕𝟓 𝟑𝟎𝟎 = 𝒌 𝟐 , 𝒌 𝟐 = 𝟏 𝟒 , 𝒌= 𝟏 𝟐 .

𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 = 𝒌 𝐀𝐁 = 𝟏 𝟐 ∙𝟗 = 4,5 м

Ответ: 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 = 4,5 м

Слайд #20

№ 655
Дано: ∆𝐀𝐁𝐂~∆ 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 , ВС и 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 - сходственные, ВС = 1,4 м, 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 = 56 см
Найти : Р АВС Р А₁В₁С₁ =?
Решение:
Р АВС Р А₁В₁С₁ = 𝒌
Р АВС Р А₁В₁С₁ = ВС 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 = 𝟏𝟒𝟎 𝟓𝟔 = 2,5

Ответ: 2,5

Слайд #21

№ 652
Дано: ∆𝐀𝐁𝐂 ~ ∆ 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 , 𝐀𝐁 : А₁В ₁ = 6 : 5
∆𝐀𝐁𝐂 > ∆ 𝐀 𝟏 𝐁 𝟏 𝐂 𝟏 на 77 см²
Найти: 𝑺 𝑨𝑩𝑪 , 𝑺 𝑨₁𝑩₁𝑪₁
Решение: 𝑺 𝑨𝑩𝑪 =𝐒, 𝑺 𝑨₁𝑩₁𝑪₁ = S₁
1) S : S₁ = 𝟔 𝟓 𝟐 = 𝟑𝟔 𝟐𝟓
S = 𝟑𝟔 𝟐𝟓 S₁
По условию S - S₁ = 77 см²,
т. е 𝟑𝟔 𝟐𝟓 S₁ - S₁ = 77
𝟏𝟏 𝟐𝟓 S₁ = 77

S₁ = 175 см²
2) S = S₁ + 77 см²,
S = 175 + 77 = 252 см²,
Ответ: S = 252 см², S₁ = 175 см²

Слайд #22

№ 649
Дано: ∆𝐀𝐁𝐂 ~ ∆𝐊𝐌𝐍, 𝐀𝐁 и KM, BC и MN - сходственные
АВ=𝟒 см, ВС=𝟓 см, СА=𝟕 см, 𝑲𝑴 𝑨𝑩 =𝟐,𝟏
Найти: стороны ∆𝐊𝐌𝐍
Решение:
𝑲𝑴 𝑨𝑩 =𝟐,𝟏 ⇒ 𝑲𝑴 = 2,1 ∙ АВ = 2,1 ∙ 4 = 8,4 см;
𝑴𝑵 𝑩𝑪 =𝟐,𝟏 ⇒ 𝑴𝑵 = 2,1 ∙ ВC = 2,1 ∙ 5 = 10,5 см;
𝑲𝑵 𝑨𝑪 =𝟐,𝟏 ⇒ 𝑲𝑵 = 2,1 ∙ AC = 2,1 ∙ 7 = 14,7 см;
Ответ: 𝑲𝑴 = 8,4 см; 𝑴𝑵 = 10,5 см; 𝑲𝑵 = 14,7 см;

Слайд #23

Домашнее задание
Учебник стр. 166 -167
п. 65; № 648, № 653, № 656

Слайд #24

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
𝑺 𝑺 𝟏 = 𝒌 𝟐
𝑆
𝑆 1
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
𝑷 𝑨𝑩𝑪 𝑷 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 =𝒌

Слайд #25

Задача. Площади подобных треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 равны соответственно 200 см2 и 50 см2. Сторона 𝐴 1 𝐵 1 =5 см. Найдите сходственную ей сторону 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Решение.
𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝑘 2 ,
200 50 = 𝑘 2 ,
𝑘=2.
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 =2,
𝐴𝐵= 𝐴 1 𝐵 1 ∙2,
𝐴𝐵=5∙2
=10 (см).
Ответ: 10 см.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
200 см2
50 см2
5 см

Слайд #26

𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 .
Задача. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 ,
𝑘 – коэффициент подобия.
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 =𝑘,
𝐴𝐵=𝑘 𝐴 1 𝐵 1 ,
𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 =𝑘,
𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 =𝑘,
𝐵𝐶=𝑘 𝐵 1 𝐶 1 ,
𝐴𝐶=𝑘 𝐴 1 𝐶 1 .
𝑃 𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶,
𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 ,
𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝑘 𝐴 1 𝐵 1 +𝑘 𝐵 1 𝐶 1 +𝑘 𝐴 1 𝐶 1 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 ,
𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝑘 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 1 𝐶 1 ,
𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 =𝑘.

Слайд #27

Задача. Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 подобны. Сходственные стороны 𝐴𝐶 и 𝐴 1 𝐶 1 соответственно равны 13 см и 0,1 м. Найдите отношение периметров треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 .
Решение.
𝐴 1 𝐶 1 =0,1 м
=10 см.
𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 = 13 10
=1,3.
𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 =1,3.
Ответ: 1,3.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
13 см
0,1 м