Урок 28. Первый признак подобия треугольников( 8 класс)

Слайд #1

Урок 28
Геометрия 8 класс

Слайд #2

1. Дано: ∆АВС ∿ ∆ А₁В₁С₁, Р АВС = 16 см, Р А₁В₁С₁ = 48 см.
Найти 𝑺 АВС : 𝑺 А₁В₁С₁
2. Дано: ∆АВС ∿ ∆ А₁В₁С₁, 𝑺 АВС = 49 см², АВ : А₁В₁ = 2 : 1.
Найти 𝑺 А₁В₁С₁
3. Сформулируйте определение подобных
треугольников. Как относятся их периметры и
площади?
Решаем устно

Слайд #3

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∠𝐴=∠ 𝐴 1 , ∠𝐵=∠ 𝐵 1 , ∠𝐶=∠ 𝐶 1
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1

Слайд #4

Проверка домашнего задания
Учебник стр. 166 -167
п. 65; № 648, № 653, № 656

Слайд #5

№ 648
Дано: ∆ABC: ∠A = 106⁰, ∠B = 34⁰, AC = 4,4 см, AB = 5,2 см, BC = 7,6 см
∆DEF: ∠E = 106⁰, ∠F = 40⁰, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см
Док-ть: ∆ABC ∿ ∆DEF -?
Решение:
1) ∠A = ∠E ;
∠С = 180⁰ – (∠A + ∠B ) = 180⁰ – (106⁰ + 34⁰) = 180⁰ – 140⁰ = 40⁰, т.е ∠С = ∠F ;
∠D = 180⁰ – (∠E + ∠F ) = 180⁰ – (106⁰ + 40⁰) = 180⁰ – 146⁰ = 34⁰, т.е ∠D = ∠В ;
2) AB DE = 5,2 15,6 = 1 3 , AС EF = 4,4 13,2 = 1 3 , ВС DF = 7,6 22,8 = 1 3

AB DE = AС EF = ВС DF

3) ∆ABC ∿ ∆DEF











A
B
C
E
D
F
4,4 см
5,2 см
7,6 см
15,6 см
22,8 см
13,2 см

Слайд #6

№ 653
Дано: 𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 87,5 см²; k = 1 : 100 000
Найти: 𝑆 зем. уч. - ?
Решение:
𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑆 зем. уч. = k²
87,5 𝑆 зем. уч. = 1 100 000 2
𝑆 зем. уч. = 87,5 ∙ 100 000 2 = 87,5 км²

Ответ: 87,5 км²

Слайд #7

№ 656

Дано: ∆АВС ∿ ∆А₁В₁С₁,
АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 30 см,
Р ∆А₁В₁С₁ = 26 см
Найти: стороны ∆А₁В₁С₁
Решение:
Р 𝑨𝑩𝑪 Р ∆А₁В₁С₁ = k
k = 𝟏𝟓+𝟐𝟎+𝟑𝟎 𝟐𝟔 = 2,5
А₁В₁ = 15 : 2,5 = 6 см, В₁С₁ = 20 : 2,5 = 8 см, А₁С₁ = 30 : 2,5 = 12 см

Ответ: 6 см, 8 см, 12 см

Слайд #8

Первый признак
подобия треугольников
Классная работа
… 01. 24

Слайд #9

Теорема (1-й признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∠𝐴=∠ 𝐴 1 ,
∠𝐵=∠ 𝐵 1 .
∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°,
∠ 𝐴 1 +∠ 𝐵 1 +∠ 𝐶 1 =180°,
∠𝐶=180°−∠𝐴−∠𝐵,
∠ 𝐶 1 =180°−∠ 𝐴 1 −∠ 𝐵 1 ,
следовательно, ∠𝐶=∠ 𝐶 1 .
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Так как ∠𝐴=∠ 𝐴 1 ,
то 𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 ∙ 𝐴 1 𝐶 1 .
Так как ∠𝐶=∠ 𝐶 1 ,
то 𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐶𝐴∙𝐶𝐵 𝐶 1 𝐴 1 ∙ 𝐶 1 𝐵 1 .
𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 ∙ 𝐴 1 𝐶 1 = 𝐶𝐴∙𝐶𝐵 𝐶 1 𝐴 1 ∙ 𝐶 1 𝐵 1 ,
𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 .
Так как ∠𝐵=∠ 𝐵 1 ,
то 𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐵𝐴∙𝐵𝐶 𝐵 1 𝐴 1 ∙ 𝐵 1 𝐶 1 .
𝐴𝐵∙𝐴𝐶 𝐴 1 𝐵 1 ∙ 𝐴 1 𝐶 1 = 𝐵𝐴∙𝐵𝐶 𝐵 1 𝐴 1 ∙ 𝐵 1 𝐶 1 ,
𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 .
Следовательно, 𝐴𝐵 𝐴 1 𝐵 1 = 𝐵𝐶 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴𝐶 𝐴 1 𝐶 1 .
Дано: ∆АВС и ∆А₁В₁С₁,
Док - ть: ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁,

Слайд #10

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑴
𝑵
1
2
∠1=∠2 как соотв. при 𝑀𝑁∥𝐴𝐶 и секущей 𝐴𝐵,
∠3=∠4 как соотв. при 𝑀𝑁∥𝐴𝐶 и секущей 𝐵𝐶,
3
4
следовательно, ∆𝑀𝐵𝑁~∆𝐴𝐵𝐶 по 1-му признаку.

Слайд #11

Прямоугольные треугольники подобны по острому углу.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 по 1-му признаку

Слайд #12

𝟖𝟎°
𝟓𝟎°
𝟖𝟎°
𝟓𝟎°
a)
𝟏𝟐𝟎°
𝟐𝟎°
𝟏𝟐𝟎°
𝟒𝟎°
𝟑𝟎°
𝟑𝟎°
б)
в)
г)
д)
е)
𝟒𝟎°

Слайд #13

Укажите пары подобных треугольников:
а) на рисунке 31.1 ВС ǁ АD

Слайд #14

Укажите пары подобных треугольников:
б) на рисунке 31.2 АВСD — параллелограмм;

Слайд #15

Укажите пары подобных треугольников:
в) на рисунке 31.3 МN ǁ АВ

Слайд #16

Решаем в классе
Учебник стр. 169 -170
№ 657, № 658(а), № 659(а, б),
№ 660 (устно)

Слайд #17

№ 657
х
х 𝟏𝟐 = 𝟔 𝟖 ⇒
х
х = 6
у 𝟔 = 𝟐𝟖 𝟖 ⇒
х = 𝟏𝟐 ∙ 𝟔 𝟖 = 9
у = 𝟐𝟖 ∙ 𝟔 𝟖 = 21

Слайд #18

№ 658(а)
Дано: ABCD – параллелограмм,
E ∊ CD, AE ∩ BC = F
DE = 8 см, EC = 4 см,
BC = 7 см, AE = 10 см.
Найти: EF и FC
Решение:
∆AED ∿ ∆FEС по 1 ППТ ⇒ AE FE = ED EС = AD FС

А
В
С
D
E
F
1
2
3
4
8 см
7 см
4 см
10 см
AE FE = ED EС ⇒ FE= AE ∙ EС ED = 10 ∙ 4 8 = 5 см
AE FE = AD FС ⇒ FC= FE ∙ AD AE = 5 ∙ 7 10 = 3,5 см
Ответ: EF = 5 см, FC = 3,5 см

Слайд #19

№ 659(а, б)

А
В
С
О
D
Дано: ABCD – трапеция, AС ∩ BD = О
ОВ = 4 см, ОD = 10 см, DС = 25 см
Найти: АВ
Решение:


1
2
3
4
∆AОВ ∿ ∆СОD по 1 ППТ ⇒ AО СО = ОВ ОD = AВ СD
ОВ ОD = AВ СD
⇒ АВ = ОВ ∙ СD ОD = 4 ∙ 25 10 = 10 см
Ответ: АВ = 10 см

Слайд #20

№ 659(а, б)

А
В
С
О
D
Дано: ABCD – трапеция, AС ∩ BD = О
АВ = а, DС = b
Найти: AО ОС и ВО ОD
Решение:

1
2
3
4
∆AОВ ∿ ∆СОD по 1 ППТ ⇒ AО СО = ОВ ОD = AВ СD
AО СО = ОВ ОD = а b

Слайд #21

№ 660 (устно)

Слайд #22

Домашнее задание
Учебник стр. 169 -170
п. 66; № 658(б), № 659(в), № 661

Слайд #23

Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏
Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

Слайд #24

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑴
𝑵
∆𝑴𝑩𝑵~∆𝑨𝑩𝑪
Прямоугольные треугольники подобны по острому углу.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝟏
𝑩 𝟏
𝑪 𝟏
∆𝑨𝑩𝑪~∆ 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏

Слайд #25

Задача. На стороне 𝐶𝐷 параллелограмма отмечена точка 𝑀. Прямые 𝐴𝑀 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑁. Найдите 𝑀𝑁 и 𝐶𝑁, если 𝐷𝑀=6 см, 𝑀𝐶=3 см, 𝐵𝐶=5 см, 𝐴𝑀=8 см.
Решение.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
𝑴
𝑵
6 см
3 см
5 см
8 см
Рассмотрим ∆𝐴𝐷𝑀 и ∆𝑁𝐶𝑀.
𝟏
𝟐
∠1=∠2 как вертикальные,
𝟑
𝟒
∠3=∠4 как внутр. накрест лежащие при 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 и секущей 𝐶𝐷.
Значит, ∆𝐴𝐷𝑀~∆𝑁𝐶𝑀 по 1-му признаку.
𝐷𝑀 𝐶𝑀 = 6 3 =2,
то есть 𝑘=2.
𝐴𝑀 𝑀𝑁 =2,
𝑀𝑁= 𝐴𝑀 2 ,
𝑀𝑁= 8 2
=4 (см).
𝐴𝐷=𝐵𝐶=5 см.
𝐴𝐷 𝐶𝑁 =2,
𝐶𝑁= 𝐴𝐷 2 ,
𝐶𝑁= 5 2
=2,5 (см).
Ответ: 4 см; 2,5 см.

Слайд #26

Задача. На рисунке 𝐴𝐵=4 см, 𝐵𝐶=6 см, 𝐵𝐷=3 см, а ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵. Найдите 𝐴𝐶.
Решение.
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
6 см
4 см
3 см
Рассмотрим ∆𝐴𝐵𝐷 и ∆𝐴𝐶𝐵.
∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵 по условию задачи,
∠𝐴 – общий.
Значит, ∆𝐴𝐵𝐷~∆𝐴𝐶𝐵 по 1-му признаку.
𝐵𝐷 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ,
3 6 = 4 𝐴𝐶 ,
𝐴𝐶= 4∙6 3
=8 (см).
Ответ: 8 см.