Презентация для подготовки учащихся к ЕГЭ по математике на тему "Логарифмические неравенства"

Слайд #1

Логарифмические неравенства

Задание ЕГЭ №14 (2023 год)
Учитель математики МАОУ СОШ №37 им. П.И. Еременко , станица Старомышастовская, Краснодарского края
Чернышева И.А.

Слайд #2

Критерии оценивания 14 задания
для неравенства

Слайд #3

Решить неравенство log 6 ( 64 х + 36 х −65 ∙8 х +64)≥2х

1.Найдем область допустим решений неравенства. Для этого запишем 64 х + 36 х −65∙ 8 х +64>0,

64 х + 36 х +64>65∙ 8 х

Так как 64 х + 36 х +64>0 и 65∙ 8 х >0
при любом значение х, то
следовательно х- любое число

Слайд #4

Решить неравенство log 6 ( 64 х + 36 х −65 ∙8 х +64)≥2х

Х- любое число
Решим исходное неравенство:
log 6 ( 64 х + 36 х −65 ∙8 х +64)≥2х

log 6 ( 64 х + 36 х −65 ∙8 х +64)≥ log 6 6 2х

8 2х + 6 2х −65∙ 8 х +64− 6 2х ≥0

8 2х −65∙ 8 х +64≥0
Введем замену, пусть 8 х =𝑡, 𝑡>0, то
𝑡 2 −65𝑡+64≥0
По теореме Виета имеем 𝑡 1 + 𝑡 2 =65 , 𝑡 1 ∙ 𝑡 2 =64, то 𝑡 1 =1, 𝑡 2 =64

Слайд #5

Решить неравенство log 6 ( 64 х + 36 х −65 ∙8 х +64)≥2х

𝑡 2 −65𝑡+64≥0
По теореме Виета имеем 𝑡 1 + 𝑡 2 =65 , 𝑡 1 ∙ 𝑡 2 =64, то 𝑡 1 =1, 𝑡 2 =64
(𝑡−1)(𝑡−64)≥0



Вернемся к обратной замене: 0<𝑡≤1 , 𝑡≥64
8 х ≤1 8 х ≥ 8 2
х≤0 х≥2
3. Запишем ответ
Ответ: −∞;0 ∪[2;+∞)


0<𝑡≤1 , 𝑡≥64

Слайд #6

Решить неравенство: 2∙ 8 х−1 2∙ 8 х −1 ≥ 3 8 х −1 + 8 64 х −5∙ 8 х +4

Введем замену, пусть 8 х =𝑡 , 𝑡 >0,

2∙ 𝑡 8 2∙ 𝑡 8 −1 ≥ 3 𝑡−1 + 8 𝑡 2 −5𝑡+4

Найдем корни квадратного трехчлена 𝑡 2 −5𝑡+4 по теореме Виета
𝑡 1 + 𝑡 2 =5 , 𝑡 1 ∙ 𝑡 2 =4, то 𝑡 1 =1, 𝑡 2 =4
Преобразуем неравенство. В левой части сократим на два, а правую часть разложим на множители
 
1 4 𝑡 1 4 𝑡−1 ≥ 3 𝑡−1 + 8 (𝑡−1)(𝑡−4)

Слайд #7

Решить неравенство 2∙ 8 х−1 2∙ 8 х −1 ≥ 3 8 х −1 + 8 64 х −5∙ 8 х +4

1 4 𝑡 1 4 𝑡−1 ≥ 3 𝑡−1 + 8 (𝑡−1)(𝑡−4) ,
Приведем в правой части к общему знаменателю
1 4 𝑡 1 4 𝑡−1 ≥ 3 𝑡−4 +8 𝑡−1 𝑡−4
Выполним преобразования в левой и правой части неравенства
𝑡 𝑡−4 ≥ 3𝑡−12+8 (𝑡−1)(𝑡−4)

𝑡 𝑡−4 ≥ 3𝑡−4 (𝑡−1)(𝑡−4)

Слайд #8

Решить неравенство 2∙ 8 х−1 2∙ 8 х −1 ≥ 3 8 х −1 + 8 64 х −5∙ 8 х +4

𝑡 𝑡−4 − 3𝑡−4 𝑡−1 𝑡−4 ≥0 , 𝑡 𝑡−1 −(3𝑡−4) (𝑡−4)(𝑡−1) ≥0

𝑡 2 −𝑡−3𝑡+4 (𝑡−4)(𝑡−1) ≥0, 𝑡 2 −4𝑡+4 𝑡−4 𝑡−1 ≥0 ,
(𝑥+2) 2 (𝑡−4)(𝑡−1) ≥0

0<𝑡<1, t=2 , 𝑡>4.

Слайд #9

Решить неравенство: 2∙ 8 х−1 2∙ 8 х −1 ≥ 3 8 х −1 + 8 64 х −5∙ 8 х +4

0<𝑡<1 t=2 𝑡>4
Вернемся к обратной замене:
8 𝑥 <1, то 8 𝑥 < 8 0 , 𝑥<0
8 𝑥 =2, то 2 3𝑥 = 2 1 , 3𝑥=1, 𝑥= 1 3 .
8 𝑥 >4, то 2 3𝑥 > 2 2 , 3𝑥>2, 𝑥> 2 3
Ответ: (−∞;0)∪{ 1 3 } ∪ 2 3 ;+∞ .

Слайд #10

задание 15 ЕГЭ-2018
Решить неравенство:
Решение.
1. Найдем область допустимых значений неравенства
Решением первого неравенства является x˃0, решением второго являются все значения . Рассмотрим неравенство

.

,

на промежутке так как этот промежуток является решением первого и второго неравенства. На этом промежутке третье неравенство принимает положительные значения.
2. Решим неравенство:
0
0
1
/////////////////////
//////////////////////////

Слайд #11

задание 15 ЕГЭ-2018
Решить неравенство:
Логарифмическая функция по основанию 5 возрастающая, поэтому
Раскрывая скобки, приводя подобные слагаемые и вынося общий множитель за скобки, придем к неравенству вида:
Разложим на множители числитель
Решением данного неравенства является все значения
.
.
.
.
(−∞;− 1 2 ] ∪(0; 1 3 ] ∪[ 1 2 ;+∞)
(−∞;− 1 2 ] ∪(0; 1 3 ] ∪[ 1 2 ;+∞)

Слайд #12

задание 15 ЕГЭ-2018
Решить неравенство:
3. Найдем решение исходного неравенства с учетом допустимых значений при x∈(0;1).
0
0
1
− 1 2
1 3
1 2
/////////////////////////////////
/////////////
//////////
/////////////////////////////////
Ответ:
(−∞;− 1 2 ] ∪(0; 1 3 ] ∪[ 1 2 ;+∞)
x∈(0; 1 3 ]∪[ 1 2 ;1).

Слайд #13

Задание 15 ЕГЭ 2020 года
Решить неравенство: 𝑥 2 log 625 (𝑥+5)≤ log 5 ( 𝑥 2 +10𝑥+25)
1.Найдем область решения неравенства
𝑥+5>0 𝑥 2 +10𝑥+5>0 𝑥>−5 (𝑥+5) 2 >0 𝑥∈(−5;+∞)

Слайд #14

Задание 15 ЕГЭ 2020 года
2. Решим данное неравенство
𝑥 2 log 625 (𝑥+5)≤ log 5 ( 𝑥 2 +10𝑥+25)
 
𝑥 2 1 4 log 5 𝑥+5 − log 5 (𝑥+5) 2 ≤0
𝑥 2 4 log 5 𝑥+5 −2 log 5 (𝑥+5)≤0 (*4)

𝑥 2 log 5 𝑥+5 −8 log 5 (𝑥+5)≤0

log 5 𝑥+5 ( 𝑥 2 +8)≤0

Слайд #15

Задание 15 ЕГЭ 2020 года
Решить неравенство: 𝑥 2 log 625 (𝑥+5)≤ log 5 ( 𝑥 2 +10𝑥+25)

log 5 𝑥+5 ( 𝑥 2 +8)≤0
Разложим на множители второе выражение
(𝑥+2 2)( 𝑥−2 2) log 5 (𝑥+5)≤0



𝑥∈ −∞;−4 ∪[−2 2 ;2 2]

-4
2 2
−2 2
+
-
-
+
2 2

Слайд #16

Задание 15 ЕГЭ 2020 года
Решить неравенство: 𝑥 2 log 625 (𝑥+5)≤ log 5 ( 𝑥 2 +10𝑥+25)
3. Найдем решение исходного неравенства при 𝑥∈(−5;+∞)

2 2
−2 2
−4
−5
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
////////////////////////////
////////////////
Ответ: −5;−4 ∪[−2 2;

2 2 ]

Слайд #17

Задание 15 ЕГЭ 2021 года
Решение:
Разложим на множители, для этого введем замену
По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена
Вернемся к первоначальной переменной
+
−1
2
+
-
при t≥0
так, как функция
, возрастающая то
////////////////
0
2 3

Слайд #18

Задание №14 ЕГЭ 2023 (аналог демоверсии)
log 7 2 𝑥 2 +12 − log 7 𝑥 2 −𝑥+12)≥ log 7 2− 1 𝑥
1.Найдем область решений для этого неравенства:
&2 𝑥 2 +12>0 & 𝑥 2 −𝑥+12>0 &2− 1 𝑥 >0
Для первого неравенства этой системы 2 𝑥 2 +12>0, очевидно, что x-любое число. Рассматривая второе неравенство системы 𝑥 2 −𝑥+12>0, видим, что квадратный трехчлен имеет D<0,так как это квадратичная функция, графиком которой является парабола с направление ветвей вверх, следовательно х -может принимать также любые значения.
Решение этого неравенства является промежуток −∞;0 𝑈 1 2 ;+∞ .

Слайд #19

Задание №14 ЕГЭ 2023 (аналог демоверсии)
2. Решим данное неравенство, применяя свойство логарифмов, получим:
2 𝑥 2 +12 ( 𝑥 2 −𝑥+12) ≥2− 1 𝑥 ;
2 𝑥 2 +12 ( 𝑥 2 −𝑥+12) − 2𝑥−1 𝑥 ≥0;
2 𝑥 2 +12 𝑥−(2𝑥−1)( 𝑥 2 −𝑥+12) 𝑥( 𝑥 2 −𝑥+12) ≥0;
2 𝑥 3 +12𝑥− 2𝑥 3 +3 𝑥 2 −25𝑥+12 𝑥( 𝑥 2 −𝑥+12) ≥0;

D=25; 𝑥 1 = 4 3 ; 𝑥 2 =3
3(𝑥− 4 3 )(𝑥−3 𝑥( 𝑥 2 −𝑥+12 ≥0
3 𝑥 2 −13𝑥+12 𝑥( 𝑥 2 −𝑥+12) ≥0

Слайд #20

Задание №14 ЕГЭ 2023 (аналог демоверсии)
З. Найдем решение неравенства на области определения
−∞;0 𝑈 1 2 ;+∞
𝑥∈(0; 4 3 )𝑈(3;+∞)
Ответ: ( 𝟏 𝟐 ; 𝟒 𝟑 ]𝑼[𝟑;+∞)

Слайд #21

Задания для самостоятельной работы
Решить неравенство

1.
2.

Слайд #22

Заключение
Рассмотренные примеры помогут отработать навыки решения некоторых типов неравенств . Однако, как учитель по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне.

Слайд #23

Литература

Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Системы неравенств с одной переменной в экзаменационных заданиях. // «Математика в школе», − М.: «Школьная пресса», – 2013. – № 2. − С. 15-27.
Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников» лекции 1-4. − М.: Педагогический университет «Первое сентября». – 2014. – 120 с.
Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Логарифмические неравенства в заданиях С3 ЕГЭ (начало). // «Математика для школьников», − М.: «Школьная пресса», – 2012. – № 1. − С. 3–12.
Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Логарифмические неравенства в заданиях С3 ЕГЭ (окончание). // «Математика для школьников», − М.: «Школьная пресса», 2012. – № 2. − С. 3-10.
Петрович М.Ю. Логарифмические уравнения и неравенства –М.: Подготовительные курсы «Физтех –Потенциал»,2008, 20с

Слайд #24

Интернет ресурсы:
 
www.resolventa.ru , resolventa@list.ru,
https://ege.sdamgia.ru/
http://alexlarin.net/ege19.html
https://easy-physic.ru/neravenstva-profil-nogo-ege-zadaniya-17-ne-opyat-a-snova/
https://урок.рф/library/prakticheskaya_tetrad_po_teme_logarifm_chisla_osno_105454.html
http://mf.grsu.by/Kafedry/matan/arxiv/012/posobe2.pdf
https://infourok.ru/manovskaya-rabota-logarifmicheskie-neravenstva-v-ege-468336.html
https://yourtutor.info/решение-систем-неравенств-репетитор