Презентация по теме "Дисперсия"

Слайд #1

Дисперсия
Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.
Александр Данилович Александров (1912-1999)
российский математик, физик, философ 

Слайд #2

Математическое ожидание – это наиболее ожидаемое значение при многократном повторении испытаний.
Понять как сильно рассеиваются значения случайной величины от наиболее ожидаемого помогает нам дисперсия. Дисперсией случайной величины D(X) называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

Пример:
В таблице представлены измерения роста людей
М(Х)=168,84
D(X)=65,09

:
               
𝐷 𝑋 = (𝑋−𝑀 𝑋 ) 2 𝑛

Слайд #3

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений датчика температуры в течение конкретного интервала времени.

Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:
1. Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.
2. Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания.
3. Среднее квадратическое отклонение s(Х) для дискретной и непрерывной случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии.

Слайд #4

Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) величины от ее математического ожидания

Слайд #5

Свойства дисперсии:
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX)=С2×D(X).
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y)=D(X)+D(Y).





Среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Слайд #6

Задача
Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

Решение
Вычислим математическое ожидание Х:
M(X)=-5*0,4+2 * 0,3+3 * 0,1+4 * 0,2=-0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле: D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице
 
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 25 * 0,4 + 4 * 0,3 + 9 * 0,1 + 16 * 0,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет:                                  

Слайд #7

Пример:
Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E(X) = 4. Найти дисперсию дискретной случайной величины.
Решение:
Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x1 = −3. Тогда вероятностью значения x2 = 7 будет 1 − p. Выведем уравнение для математического ожидания:
E(X) = x1p + x2(1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4,
откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7.
Закон распределения случайной величины:


Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21.

Слайд #8

Домашнее задание:
1. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика 5 раз.
2. Вася и Миша выполняли тест, в котором было 20 вопросов одинаковой сложности и к каждому вопросу даны варианты ответов. Поскольку ни Вася, ни Миша ничего не знали, они только угадывали ответы. Вася угадал верные ответы на 6 вопросов, а Миша – на 8 вопросов, не советуясь с Васей. Найдите математическое ожидание числа совпадений, то есть вопросов, где Вася и Миша оба угадали верные ответы или не угадали.
3. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D(X) = 6. Найти математическое ожидание случайной величины.
4. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.