"Решение стереометрических задач ЕГЭ разными способами" (11 класс)

Слайд #1

Решение стереометрических задач ЕГЭ разными способами
Учитель математики
МБОУ «Лицей №33» г. Иваново
Ситникова Татьяна Владимировна

Слайд #2

A
B
C
𝐴 1
𝐶 1
𝐵 1
Основание прямой треугольной призмы АВС А 1 В 1 С 1 прямоуголь
ный треугольник АВС с прямым углом С, С А 1 ⊥А В 1 . Доказать: а) А А 1 =АС,
б) найти расстояние между прямыми С А 1 и А В 1 , если АС=6; ВС=3.
ЗАДАЧА 1.

Слайд #3

A
B
C
𝐴 1
𝐶 1
𝐵 1
1

Слайд #4

С
В
А
А 1
С 1
В 1
z
y
x

Слайд #5

A
B
C
𝐴 1
𝐶 1
𝐵 1
б) 1 способ. А 1 С⊥(А В 1 С 1 )по признаку.
Значит, 𝜌( А 1 С,;А В 1 )=ОК
В ∆А С 1 В 1 , где О середина А С 1 ; ОК⊥А В 1
ОК= 1 2 С 1 Н; А С 1 =6 2 ; А В 1 =9; С 1 В 1 =3;
𝑆 𝐴 𝐶 1 𝐵 1 = 1 2 ∙6 2 ∙3=9 2
𝐶 1 𝐻=2 2
OK= 2
A
O
K
H
𝐶 1
𝐵 1

Слайд #6

A
B
C
E
𝐴 1
𝐶 1
𝐵 1
z
А(0;6;0); В 1 3;0;6 ;
y
А В 1 (3;-6;6);
А𝐸 (0;6;6);
Е 0;12;6 ; А 1 0;−6;6 ;
𝑛 −6 6 6 6 ; 6 6 3 0 ; 3 −6 0 6 ; 𝑛 −72;−18;18 ;
𝑛 (4;1;−1)-вектор нормали плоскости АЕ В 1 . 4х+у-z+D=0
A(0;6;0), 0+6+D=0, D=-6, 𝐴𝐸 𝐵 1 :4𝑥+𝑦−𝑧−6=0
𝜌 𝐴 1 ;𝐴𝐸𝐵 = A x 0 +B y 0 +C z 0 +D A 2 + B 2 + C 2 = 0∙4+6−6−6 16+1+1 = 6 3 = 2
x

Слайд #7

S
C
E
F
A
B
D
K
O
Задача 2.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2,
точка К – середина ребра SD.
Найти косинус угла между прямыми
AS и FK.

Слайд #8

Способ 1. В ∆𝐴𝑆𝐷 КО−средняя линия
Значит KO║SА
(AS;FK)=(KO;FK)=FKO
В FKO FO=1; 𝐾𝑂= 1 2 𝐴𝑆=1
В FSD FS=SD=2; 𝐹𝐷 2 = 1 2 + 1 2 −2∙1∙1∙𝑐𝑜𝑠 120 0 = 3; 𝐹𝐷= 3
𝑚 𝑐 2 = 2 𝑎 2 +2 𝑏 2 − 𝑐 2 4 −длина медианы треугольника
𝐹𝐾= 1 2 2𝐹𝑆 2 + 2𝐹𝐷 2 − 𝑆𝐷 2 = 1 2 8+6−4 = 10 2
Из FKO по т. косинусов: c𝑜𝑠𝐹𝐾𝑂= 𝐹𝐾 2 + 𝐾𝑂 2 − 𝐹𝑂 2 2𝐹𝐾∙𝐾𝑂 =
= 5 2 +1−1 2∙ 10 2 ∙1 = 10 4 ; cos(AS;FK)= 10 4 ; (AS;FK)=a𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 10 4
S
C
E
F
A
B
D
K
O

Слайд #9

F
A
B
D
K
O
S
z
y
C
x
E
2 способ. Выберем прямоугольную систему координат
A(-1;0;0); D(1;0;0)
F(− 1 2 ;− 3 2 ;0); S(0;0; 3 )
K( 1 2 ;0; 3 2 );
𝐴𝑆 (1;0; 3 ); 𝐹𝐾 1; 3 2 ; 3 2 ;
cos 𝐴𝑆;𝐹𝐾 = cos⁡( 𝐴𝑆 ; 𝐹𝐾 = 1∙1+0∙ 3 2 + 3 ∙ 2 2 1 2 + 0 2 + 3 2 ∙ 1 2 + 3 2 2 + 3 2 2 = 10 4 ; Ответ: arccos 10 4