Презентация "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Слайд #1

Подготовила: Жукова Олеся Евгеньевна преподаватель ГБПОУ КРК «Интеграл
Тема
Решение логарифмических уравнений и неравенств

Слайд #2

Слайд #3

Логарифмом положительного числа 𝑥 по положительному и не равному 1 основанию 𝑎: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 называется показатель степени, при возведении в который числа 𝑎 получается 𝑥.
𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 =𝑥, 𝑎>0, 𝑎≠1
или
𝑎 𝑏 =𝑥, 𝑎>0,
𝑎≠1,
тогда
𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥

Слайд #4

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

1) Если 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎, то
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙∙𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚 .
Если 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒙<𝟎, 𝒚<𝟎, то
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙∙𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 −𝒙 + 𝒍𝒐𝒈 𝒂 −𝒚 .

2) Если 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎, то
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙− 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚 .
Если 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒙<𝟎, 𝒚<𝟎, то
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 −𝒙 − 𝒍𝒐𝒈 𝒂 −𝒚 .

Слайд #5

Во всех равенствах
𝒂>𝟎, 𝒃>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒃≠𝟏, 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎 .
3) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒄 =𝒄 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 ;
4) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒅 𝒙 𝒄 = 𝒄 𝒅 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 ;
5) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙= 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂 ;
6) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙∙ 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒚= 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒙∙ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚 ;
7) 𝒍𝒐𝒈 𝒏 𝒂 𝒙=𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 ;
8) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒏 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 ;
9) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃= 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂 ; 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃∙ 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂=𝟏 ;

Слайд #6

10) 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒄 = 𝒄 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂 , 𝒂 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 ;
11) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒚 , 𝒚≠𝟏 ;
12) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙𝒚 + 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝟐 , если 𝒙𝒚>𝟎 ;
13) 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒌 =𝒌 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 , если 𝒌 –чётное число,
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒌 =𝒌 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 , если 𝒌 –нечётное число.

Слайд #7

Десятичный логарифм и натуральный логарифм
Десятичным логарифмом называется логарифм, если его основание равно 10.
Обозначение десятичного логарифма: 𝒍𝒈 𝒙 .

Натуральным логарифмом называется логарифм, если его основание равно числу 𝒆 .
Обозначение натурального логарифма: 𝒍𝒏 𝒙 .

Слайд #8

Примеры с логарифмами
Найдите значение выражения:
№ 1. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟔 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟑𝟔 ;
№ 2. 𝟕∙ 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟒 ;
№ 3. 𝟑𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟓 ;
№ 4. 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝟖 ;
№ 5. 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟎,𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟓 𝟒 ;
№ 6. 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟏𝟎− 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟑 ;
№ 7. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟓 ;
№ 8. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟒𝟗 𝟏𝟑 ;
№ 9. 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟗∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐𝟓 ;

Слайд #9

№ 10. 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓𝟎 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 ;
№ 11. 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟐 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟐 ;
№ 12. 𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟑 𝟕 ;
№ 13. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏𝟖 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 ;
№ 14. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟕 + 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟎,𝟐 ;
№ 15. 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟖 𝟑∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏,𝟐𝟓 ;
№ 16. 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟓 𝟒𝟗 ;
№ 17. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟒𝟗 𝟐 ;
№ 18. 𝟓 𝟑+ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 ;
№ 19. 𝟖 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 ;
№ 20. 𝟔𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 ;
№ 21. 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝟓 ;

Слайд #10

№ 22. 𝟐𝟒 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 ;
№ 23. 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟑 ;
№ 24. 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟑 ;
№ 25. 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 ;
№ 26. Найдите значение выражения 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝒃 𝟑 , если 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂= 𝟏 𝟕 ;
№ 27. Найдите значение выражения 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝒃 𝟑 , если 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃=𝟓 ;
№ 28. Найдите значение выражения 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝟐 𝒃 𝟑 , если 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃=−𝟐 .

Слайд #11

Решение примеров с логарифмами
№ 1. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟔 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟑𝟔 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐 𝟒 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟔 𝟐 =𝟒∙𝟐=𝟖 .
Ответ. 𝟖.
№ 2. 𝟕∙ 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟒 =𝟕∙𝟒=𝟐𝟖 .
Ответ. 𝟐𝟖.
№ 3. 𝟑𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟓 = 𝟔 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟓 = 𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟓 𝟐 = 𝟓 𝟐 =𝟐𝟓 .
Ответ. 𝟐𝟓.
№ 4. 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝟖 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 = 𝟑 𝟐 =𝟏,𝟓 .
Ответ. 𝟏,𝟓.
№ 5. 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟎,𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟓 𝟒 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓 −𝟏 + 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟐 =−𝟏−𝟐=
=−𝟑 .
Ответ. −𝟑.

Слайд #12

№ 6. 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟏𝟎− 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟏𝟎 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟑 𝟑 𝟏𝟎 −𝟏 =−𝟏 .
Ответ. −𝟏.
№ 7. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓 𝟐 =𝟐 .
Ответ. 𝟐.
№ 8. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟒𝟗 𝟏𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟐 𝟏𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟑 𝟏 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏𝟑 =𝟐 .
Ответ. 𝟐.
№ 9. 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟗∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑 𝟐 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑 = 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑 =
=𝟐∙𝟐=𝟒 .
Ответ. 𝟒 .
№ 10. 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓𝟎 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 = 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟓𝟎− 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 = 𝟗 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝟓 = 𝟗 𝟐 =𝟖𝟏 .
Ответ. 𝟖𝟏.

Слайд #13

№ 11. 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟐 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟐 = 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟔 ∙
∙ 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟔+ 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟐 = 𝟏−𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟔 ∙
∙ 𝟏−𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟐 =− 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟔∙ − 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐=𝟏 .
Ответ. 𝟏.
№ 12. 𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟑 𝟕 =𝟔 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟕 𝟏 𝟑 =𝟔∙ 𝟏 𝟑 =𝟐 .
Ответ. 𝟐.
№ 13. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏𝟖 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟗+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 = 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 𝟐+ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 =𝟏 .
Ответ. 𝟏.
№ 14. 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟕 + 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟎,𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟓+ 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟎,𝟐= 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏=𝟎 .
Ответ. 𝟎.

Слайд #14

№ 15. 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟖 𝟑∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏,𝟐𝟓 = 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟎,𝟖 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟏,𝟐𝟓=
= 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟖 𝟏,𝟐𝟓= 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟖 𝟏𝟎 𝟖 =−𝟏 .
Ответ. −𝟏.
№ 16. 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟓 𝟒𝟗 = 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 𝟕 𝟐 = 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟕 =𝟕 .
Ответ. 𝟕.
№ 17. 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟒𝟗 𝟐 = 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟏 𝟐 𝟕 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 =𝟏𝟔 .
Ответ. 𝟏𝟔.
№ 18. 𝟓 𝟑+ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐 = 𝟓 𝟑 ∙ 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟑 =𝟏𝟐𝟓∙𝟐=𝟐𝟓𝟎 .
Ответ. 𝟐𝟓𝟎.
№ 19. 𝟖 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 = 𝟖 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟐 =𝟗 .
Ответ. 𝟗.

Слайд #15

№ 20. 𝟔𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 = 𝟖 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 = 𝟖 𝒍𝒐𝒈 𝟖 𝟑 =𝟑 .
Ответ. 𝟑.
№ 21. 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝟓 = 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝟐= 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐 𝟐= 𝟏 𝟐 =𝟎,𝟓 .
Ответ. 𝟎,𝟓.
№ 22. 𝟐𝟒 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 = 𝟐𝟒 𝟐 =𝟏𝟐 .
Ответ. 𝟏𝟐.
№ 23. 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟑 −𝟏 𝟏𝟑 𝟏 𝟐 =− 𝟏 𝟐 =−𝟎,𝟓 .
№ 24. 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟔 𝟏𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟑 𝟏𝟑 = 𝟏 𝟐 =𝟎,𝟓 .
Ответ. 𝟎,𝟓.
№ 25. 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 = 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟑 =𝟑 .
Ответ. 𝟑.

Слайд #16

№ 26. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝒃 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂+ 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 𝟑 =𝟏+𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 .
Если 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂= 𝟏 𝟕 , то 𝟏+𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 =𝟏+𝟑∙ 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂 =
=𝟏+𝟑∙𝟕=𝟐𝟐 .
Ответ. 𝟐𝟐.
№ 27. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝒃 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂− 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 𝟑 =𝟏−𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 .
Если 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃=𝟓 , то 𝟏−𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 =𝟏−𝟑∙𝟓=−𝟏𝟒 .
Ответ. −𝟏𝟒.
№ 28. 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝟐 𝒃 𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 𝟑 =𝟐+𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 .
Если 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃=−𝟐 , то 𝟐+𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒃 =𝟐+𝟑∙ −𝟐 =−𝟒 .
Ответ. −𝟒.

Слайд #17

Простейшие логарифмические уравнения
Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида:
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙=𝒃 ; 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒇 𝒙 =𝒃 ; 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒖 𝒙 ,
где 𝒂 и 𝒃 – действительные числа,
𝒂≠𝟏; 𝒂>𝟎; 𝒇 𝒙 , 𝒖 𝒙 - выражения, содержащие 𝒙.

Слайд #18

Методы решения простейших логарифмических уравнений
1. По определению логарифма.
A) Если 𝒂≠𝟏, 𝒂>𝟎, то уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒇 𝒙 =𝒃 равносильно уравнению 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒃 .

B) Уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒇 𝒙 =𝒃 равносильно системе
𝒂 𝒙 𝒃 =𝒇 𝒙 , 𝒂 𝒙 >𝟎, 𝒂 𝒙 ≠𝟏.

Слайд #19

2. Метод потенцирования.

A) Если 𝒂≠𝟏, 𝒂>𝟎, то уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒖 𝒙
равносильно системе 𝒇 𝒙 =𝒖 𝒙 , 𝒖 𝒙 >𝟎 (или 𝒇 𝒙 >𝟎).


B) Уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 𝒖 𝒙 равносильно системе
𝒇 𝒙 =𝒖 𝒙 , 𝒖 𝒙 >𝟎 или 𝒇 𝒙 >𝟎 , 𝒂 𝒙 >𝟎, 𝒂≠𝟏; 𝒇 𝒙 −𝒖 𝒙 𝒂 𝒙 −𝟏 =𝟎, 𝒖 𝒙 >𝟎 или 𝒇 𝒙 >𝟎 , 𝒂 𝒙 >𝟎.

Слайд #20

Решение простейших логарифмических уравнений
№ 1. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟓 𝟓𝒙−𝟐𝟓 =𝟐 .
Решение.
𝑙𝑜𝑔 15 5𝑥−25 =2 ; 5𝑥−25= 15 2 ; 5𝑥−25=225 ; 5𝑥=200 ; 𝑥=40 .
Ответ. 4.

№ 2. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟐,𝟓 𝟔𝒙+𝟏𝟏 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐,𝟓 𝟏𝟏𝒙+𝟔 .
Решение.
𝑙𝑜𝑔 2,5 6𝑥+11 = 𝑙𝑜𝑔 2,5 11𝑥+6 ; 6𝑥+11=11𝑥+6 ; 5𝑥=5; 𝑥=1.
Ответ. 1.

Слайд #21

№ 3. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝒙−𝟏 𝟑𝒙+𝟏𝟔 =𝟐 .
Решение.
𝑙𝑜𝑔 2𝑥−1 3𝑥+16 =2 2𝑥−1 2 =3𝑥+16, 2𝑥−1≠1, 2𝑥−1>0;
4 𝑥 2 −4𝑥+1=3𝑥+16, 𝑥≠1, 𝑥> 1 2 ; 4 𝑥 2 −7𝑥−15=0, 𝑥≠1, 𝑥> 1 2 ;
𝑥 1 =−1,25 , 𝑥 2 =3 , 𝑥≠1, 𝑥> 1 2 ; 𝑥=3 .
Ответ. 3.

Слайд #22

№ 4. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝟏 𝒙+𝟒 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝟏 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙 .
Решение.
𝑙𝑜𝑔 𝑥+1 𝑥+4 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥+1 𝑥 2 +4𝑥 𝑥+4= 𝑥 2 +4𝑥 , 𝑥+4>0, 𝑥+1≠1, 𝑥+1>0;
𝑥 2 +3𝑥−4=0, 𝑥>−1, 𝑥≠0; 𝑥 1 =−4 , 𝑥 2 =1 , 𝑥>−1, 𝑥≠0 ; 𝑥=1 .

Ответ. 1.

Слайд #23

Методы решения логарифмических уравнений
1. Метод потенцирования.
2. Функционально-графический метод.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод замены переменной.
5. Метод логарифмирования.

Слайд #24

Особенности решения логарифмических уравнений
Применять простейшие свойства логарифмов.
Распределять слагаемые, содержащие неизвестные, при применении простейших свойств логарифмов, таким образом, чтобы не возникали логарифмы отношений.
Применять цепочки логарифмов: цепочка раскрывается на основании определения логарифма.
Применение свойств логарифмической функции.

Слайд #25

№ 1. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙−𝟑 𝒙−𝟓 + 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙−𝟓 𝒙−𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙+𝟐𝟓 𝟐 .
Решение.
Преобразуем данное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифма. Данное уравнение равносильно системе:
𝑙𝑜𝑔 5 𝑥−3 𝑥−5 ∙ 𝑥−5 𝑥−3 = 𝑙𝑜𝑔 5 𝑥+25 2 , 𝑥−3 𝑥−5 >0, 𝑥+25≠0;
log 5 𝑥−5 2 = log 5 𝑥+25 2 , 𝑥∈ −∞;3 ∪ 5;+∞ , 𝑥≠−25.

Слайд #26

Решим первое уравнение системы:
𝑥−5 2 = 𝑥+25 2 𝑥−5 2 − 𝑥+25 2 =0 𝑥−5−𝑥−25 𝑥−5+𝑥+25 =0 −30∙ 2𝑥+20 =0 2𝑥+20=0 𝑥=−10 .
Учитывая, что 𝑥∈ −∞;3 ∪ 5;+∞ и 𝑥≠−25 , получаем 𝑥=−10 .
Ответ. −10.

Слайд #27

№ 2. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟔𝟐𝟓 𝒙 𝟐 +𝒙−𝟏 =𝟏 .
Решение.
𝑙𝑜𝑔 2 𝑙𝑜𝑔 0,5 𝑙𝑜𝑔 625 𝑥 2 +𝑥−1 =1 .
Воспользуемся определением логарифма, получаем 𝑙𝑜𝑔 0,5 𝑙𝑜𝑔 625 𝑥 2 +𝑥−1 =2 𝑙𝑜𝑔 625 𝑥 2 +𝑥−1 =0,25 𝑥 2 +𝑥−1=5 𝑥 2 +𝑥−6=0 𝑥 1 =−3 , 𝑥 2 =2 .
Выполним проверку, подставляя найденные значения переменной в квадратный трёхчлен 𝑥 2 +𝑥−1, получаем −3 2 + −3 −1=5>0, 2 2 +2−1=5>0, следовательно, значения 𝑥=−3;𝑥=2 являются корнями данного уравнения.
Ответ. −3;2.

Слайд #28

№ 3. Решите уравнение 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟑 − 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙−𝟏 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙−𝟑 =𝟏 .
Решение.
Находим область определения уравнения:
𝑥 2 −4𝑥+3>0, 𝑥−1>0, 𝑥−3>0; 𝑥−1 𝑥−3 >0, 𝑥>1, 𝑥>3; 𝑥∈ −∞;1 ∪ 3;+∞ , 𝑥>3; 𝑥>3 .
Преобразовываем данное уравнение
𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 𝑥−3 − 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 ∙ 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 =1 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 + 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 − 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 ∙ 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 =1 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 1− 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 + 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 −1=0

Слайд #29

𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 1− 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 − 1− 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 =0
1− 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 ∙ 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 −1 =0
1− 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−3 =0, 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−1 −1=0; log 2 𝑥−3 =1, log 2 𝑥−1 =1; 𝑥−3=2, 𝑥−1=2;
𝑥=5, 𝑥=3.
Учитывая область определения уравнения, получаем 𝑥=5 .
Ответ. 5.

Слайд #30

№ 4. Решите уравнение −𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟗 𝒙 𝟏− 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟑 𝟐𝟕 𝒙 𝟐 .
Решение.
Область определения уравнения:
𝑥>0 .
Преобразуем данное уравнение:
−3 𝑙𝑜𝑔 9 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 1 3 27 𝑥 2 −3 𝑙𝑜𝑔 3 2 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 3 −1 27 𝑥 2
−1,5 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 =− 𝑙𝑜𝑔 3 27 𝑥 2 1,5 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 3 27 𝑥 2
1,5 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 3 27+ 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 2 1,5 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 1− 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 =3+2 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 .
Решаем методом замены переменной.
Пусть 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥=𝑎 , тогда уравнение принимает вид:

Слайд #31

1,5𝑎 1−𝑎 =3+2𝑎 .
Учитывая, что 1−𝑎≠0, 𝑎≠1, получаем уравнение
1,5𝑎= 3+2𝑎 1−𝑎 3𝑎=2 3+2𝑎 1−𝑎
3𝑎=6−2𝑎−4 𝑎 2 4 𝑎 2 +5𝑎−6=0 𝑎=−2, 𝑎= 3 4 .
Обратная замена:
𝑙𝑜𝑔 3 𝑥=−2, 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥= 3 4 ; 𝑥= 3 −2 , 𝑥= 3 3 4 ; 𝑥= 1 9 , 𝑥= 4 27 .
Ответ. 1 9 , 4 27 .

Слайд #32

№ 5. Решите уравнение 𝟓 𝒙 𝟐 −𝟑 ∙ 𝟔 𝒙 =𝟏𝟖𝟎.
Решение.
Можно угадать корень данного уравнения: 𝑥=2 .
Проверяем: 5 2 2 −3 ∙ 6 2 =180; 5∙36=180; 180=180.
Верное равенство, следовательно, 𝑥=2 является корнем данного уравнения.
А теперь:
СЛОЖНО − ЛОГАРИФМИРУЙ!
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5 .
Получаем равносильное уравнение:
𝑙𝑜𝑔 5 5 𝑥 2 −3 ∙ 6 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 5 180 𝑥 2 −3 log 5 5+𝑥 log 5 6= log 5 36+ log 5 5
𝑥 2 −3+𝑥 𝑙𝑜𝑔 5 6=2 𝑙𝑜𝑔 5 6+1 𝑥 2 +𝑥 𝑙𝑜𝑔 5 6−4−2 𝑙𝑜𝑔 5 6=0 .

Слайд #33

Получили квадратное уравнение, у которого известен один корень.
По теореме Виета находим сумму корней:
2+𝑥=− 𝑙𝑜𝑔 5 6 , следовательно, находим второй корень:
𝑥=−2− 𝑙𝑜𝑔 5 6 .
Ответ. −2− log 5 6 ;2.