Метод проекций. Проекции точек.

Слайд #1

П  – плоскость проекций;
А – произвольная точка пространства;
S – центр проекций;

П

А = SA  П 
S
При проецировании проецирующие лучи проходят через центр проекций – точку S . Проекция А точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П  .
Метод проекций
A
SA – проецирующий луч;
А – проекция точки А на плоскость проекций П 
А 

Слайд #2

П

При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей образует коническую поверхность. При параллельном проецировании совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую поверхность.
Центральные
(конические)
Классификация проекций
Параллельные (цилиндрические)
S
C
B
A
А 
В 
С 
s
A
B
C
А 
В 
С 
B
C
A
s
А 
В 
С 
косоугольные, s  П 
ортогональные, s  П 

Слайд #3

Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее единственное изображение – проекция А1 . Проецирование на одну плоскость проекций дает решение прямой задачи.
Метод ортогонального проецирования:
плоскости проекций перпендикулярны между собой;
проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.
Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо задать на чертеже минимум две ее ортогональные проекции


A
Ортогональное проецирование
П
1
А
1
При ортогональном
проецировании
проецирующие лучи s
перпендикулярны
плоскости проекций П1 и параллельны между собой
s

Слайд #4

Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П1 - горизонтальная; П2 - фронтальная; П3 - профильная. Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz декартовой системы координат
Пространственная картина
Точка в системе трех плоскостей проекций
y
П
2
П
1
П
3
x
O
z
П1  П2  П3

Слайд #5

П
1
y1
Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель разрезают по оси Оy и совмещают все три плоскости проекций в одну: П1 поворачивают вокруг оси Оx, П3 поворачивают вокруг оси Оz до их совпадения с П2 . Ось Оу распадается на две оси y1 и y3
z
П
2
П
3
x
y
O
Точка в системе трех плоскостей проекций
y3
П
1
П
3
Пространственная картина
O
z
y1
П
2
П
1
П
3
x
y3
Комплексный чертеж

Слайд #6

Проецирующие лучи АА1 , АА2 , АА3 проводят перпендикулярно соответствующим плоскостям проекций и получают проекции точки А: горизонтальную А1 , фронтальную А2 , профильную А3 . Точки пересечения проецирующих плоскостей с соответствующими осями обозначены Ах , Аy , Аz
x
П
2
П
1
П
3
y
z
O
A
А
x
А
y
А
z
А
2
А
3
А
1
Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
O
z
y1
П
2
П
1
П
3
x
y3
Комплексный чертеж
АА1 П1 ;
АА2 П2
АА3 П3

Слайд #7

y1
y3
П
1
П
3
П
1
П
3
x
На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны осям координат. Линия А1 А2 Ох расположена вертикально, а А2 А3 Оz -горизонтально. При построении линии связи от А1 к А3 необходимо соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy : Ax A1 = Az A3
O
y3
x
z
y1
А
y1
А
1
А
2
А
3
А
x
А
z
А
y3
П
2
y
z
Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
А
2
O
А
3
А
1
А
y
A
А
x
А
z
А
1
А
3

Слайд #8

Прямоугольные координаты точки
A(xA ,yA ,zA )
x
П
2
П
1
П
3
y
z
O
A
А
2
А
x
А
3
А
z
А
1
А
y
zA
xA
yA
xA = AA3
yA = AA2
zA = AA1
Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки есть число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA

Слайд #9

Прямоугольные координаты точки
На комплексном чертеже численные значения координат откладываются вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA , фронтальная - XA и ZA , профильная - YA и ZA .
zA
xA
yA
zA
yA
xA
O
x
z
y1
y3
zA
yA
x
O
А
1
А
2
А
3
А
2
А
1

Слайд #10

Конкурирующие точки
Конкурирующими называются точки, лежащие на
одном проецирующем луче.
x
А
2
B
2
(A )
1
В
1

z
Горизонтально конкурирующие точки А и В лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные проекции совпадают. Точка В выше точки А и расположена ближе к наблюдателю, ее горизонтальная проекция В1 будет видимой
П
1
П
2
A
2
В
2
(A )
1
В
1

A
В
z
zB > zA

Слайд #11

П
1
Конкурирующие точки
x
Фронтально конкурирующие точки А и В отличаются только координатой y , лежат на одном фронтально-проецирующем луче, поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю расположена точка В, ее фронтальная проекция В2 будет видимой
П
2
A
В
A
1
В
1
(A )
2
В
2

y
B
1
А
1
(A )
2
В
2

y
yB > yA
Видима та точка, у которой больше координата

Слайд #12


П
2
П
1
x
П
4
x1
А
Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость проекций П4. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П1 (координата z) остается неизменным
П1
П4
x1
А4
zА
zА
Способ перемены плоскостей проекций
zА
zА
4
А
А
А
1
А
2
Чертеж:
П2  П4
zП4= zП2
П4  П1
П4  П1=x1
П1
П2
А1
А2
x

Слайд #13

x
П
2
П
1
Способ вращения вокруг проецирующей прямой
А
2
А
1
A
i
2
i
1
i
При вращении точка описывает окружность, расположенную в плоскости уровня. Если ось вращения i П2 , то на П2 траектория движения точки проецируется в натуральную величину (окружность с центром в точке i2 ) На П1 она проецируется в виде прямой,  проекции оси вращения i1
Сущность способа: геометрический образ вращают вокруг проецирую-щей оси до частного положения
i  П2
i – ось вращения;
Чертеж:
А
1
А
2
П1
П2
А1
А2
x
i1
i2
А – произвольная точка;

Слайд #14

x
П
2
П
1
А
1
A
i
1
i
А
2
i
2
А – произвольная точка;
i  П1
i – ось вращения;
Чертеж:
А
1
А
2
П1
П2
x
А1
А2
i1
i2
При горизонтально проецирующем положении оси вращения траектория движения точки на П1 проецируется в натуральную величину, т.е. в виде окружности с центром в точке i1 . На П2 она будет проецироваться в виде прямой линии, перпендикулярной проекции оси вращения i2
Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Слайд #15

x
П
2
П
1
Г
Способ плоскопараллельного перемещения
А
1
A
А
2
Схема:
А
1
А
2
А1
П1
П2
А2
x
2
А
А
1
А
Сущность способа: геометрический образ переводится в частное положение плоскопараллельным движением его точек по плоскостям уровня
При плоскопараллельном перемещении траектория движения горизон-тальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Г. На П2 фронтальная проекция точки перемещается по следу плоскости Г2 , который параллелен оси х
Г
2
Г2
А – произвольная точка;
Г  П1 ;
Г  П2
Г – плоскость
перемещения;

Слайд #16

x
П
2
П
1
Ф
Способ плоскопараллельного перемещения
А
1
A
А
2
Схема:
А
2
А
1
А1
П1
П2
А2
x
А
А
1
2
А
Ф1
Ф
1
А – произвольная точка;
Ф  П2;
Ф  П1
Ф – плоскость
перемещения;
На П2 траектория движения фронтальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Ф, поэтому расположение проекции может быть произвольным. На П1 горизонтальная проекция точки перемещается по следу плоскости Ф1 , который параллелен оси х