Презентация по теме "Методы решения тригонометрических уравнений" (10 класс)

Слайд #1

Методы решения
тригонометрических
уравнений

Слайд #2

Решение тригонометрического уравнения фактически заключается в его сведении к уравнениям следующего вида: 𝒄𝒐𝒔 𝒙=𝒂, 𝒔𝒊𝒏 𝒙=𝒂, 𝒕𝒈 𝒙=𝒂 или 𝒄𝒕𝒈 𝒙=𝒂. Рассмотрим на примерах основные методы, которые используются для сведения тригонометрического уравнения к простейшим.

1) Разложение на множители

Слайд #3

2. Решите уравнение: sin 3𝑥 + sin 4𝑥 + sin 5𝑥 =0.
 
Решение: sin 3𝑥 + sin 4𝑥 + sin 5𝑥 =0 ⇔ sin 3𝑥+ sin 5𝑥 + sin 4𝑥=0 ⇔

2 sin 4𝑥∙ cos 𝑥+ sin 4𝑥=0 ⇔
 
⇔ sin 4𝑥∙ 2 cos 𝑥+1 =0 ⇔ sin 4𝑥=0, cos 𝑥=− 1 2 ; ⇔ 4𝑥=𝜋𝑘, 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛; ⇔ 𝑥= 𝜋𝑘 4 , 𝑘∈𝑍, 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
 
Ответ: 𝑥= 𝜋𝑘 4 , 𝑘∈𝑍, 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

Слайд #4

Решение: 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥−5 cos 𝑥−4=0 ⇔4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−2 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −5 cos 𝑥−4=0⇔

⇔ 6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−5 cos 𝑥−6=0 .

Обозначим 𝑡= cos 𝑥, заметим, что −1≤𝑡≤1.
Тогда 6 𝑡 2 −5𝑡−6=0⇔ 𝑡= 3 2 , 𝑡=− 2 3 .
Значение 𝑡= 3 2 не удовлетворяет условию −1≤𝑡≤1.

cos x=− 2 3 ⇔ 𝑥=± arccos − 2 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Ответ: 𝑥=± arccos − 2 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

2) Замена переменной

Слайд #5

Слайд #6

Слайд #7

6. Решите уравнение: 6 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥−5𝑠𝑖𝑛 2𝑥∙𝑐𝑜𝑠 2𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥=0.

Слайд #8

7. Решите уравнение: 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1.
 
Решение: 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5 sin 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1 ⇔
⇔2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5 sin 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+5 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ⇔
⇔ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+5 sin 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥+4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=0 ⇔ 𝑡𝑔 2 𝑥+5𝑡𝑔 𝑥+4=0 (так как значения х, при которых cos 𝑥=0 , не являются решениями данного уравнения).
Сделаем замену 𝑡𝑔 𝑥=𝑡 и решим квадратное уравнение 𝑡 2 +5𝑡+4=0 ⇔ 𝑡=−1, 𝑡=−4. Сделав обратную замену, получим
𝑡𝑔 𝑥=−1, 𝑡𝑔 𝑥=−4. ⇔ 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
 
Ответ: 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4+𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

Слайд #9

2.2) В уравнениях, зависящих от 𝒔𝒊𝒏 𝒙±𝒄𝒐𝒔 𝒙 и 𝒔𝒊𝒏 𝒙∙𝒄𝒐𝒔 𝒙,
вводится переменная 𝒕=𝒔𝒊𝒏 𝒙±𝒄𝒐𝒔 𝒙.

Тогда 𝑡 2 = sin 𝑥± cos 𝑥 2 = 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥±2 sin 𝑥∙ cos 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1±2 sin 𝑥∙ cos 𝑥 

𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥=± 𝑡 2 −1 2 .

Определим значения, которые может принимать t, воспользовавшись формулой вспомогательного аргумента:

𝑠𝑖𝑛 𝑥± 𝑐𝑜𝑠 𝑥= 2 1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥± 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑥± 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥± 𝜋 4 .
 
Получили, что 𝑡= 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥± 𝜋 4 . Значит, 𝑡∈ − 2 ; 2 .

Слайд #10

Слайд #11

Слайд #12

2.3) Применение универсальной тригонометрической подстановки
10. Решите уравнение: 5 sin 𝑥+2𝑡𝑔 𝑥 2 =0.
 
Решение: 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥+2𝑡𝑔 𝑥 2 =0 ⇔5∙ 2𝑡𝑔 𝑥 2 1+ 𝑡𝑔 2 𝑥 2 +2𝑡𝑔 𝑥 2 =0. Так как в исходном уравнении присутствует tg x 2 , то случай, когда cos x 2 =0 рассматривать не надо.
 
Обозначим 𝑡𝑔 𝑥 2 =𝑡: 10𝑡 𝑡 2 +1 +2𝑡=0 ⇔2 𝑡 3 +12𝑡=0 ⇔2𝑡 𝑡 2 +6 =0 ⇔𝑡=0.
 
Обратная замена: 𝑡𝑔 𝑥 2 =0 ⇔ 𝑥 2 =𝜋𝑘⇔𝑥=2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Ответ: 𝑥=2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
 

Слайд #13

3) Понижение степени
Применение формул 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙= 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 или 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 .

11. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 4𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 5𝑥=2.

Решение: Воспользуемся формулой 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥= 1− cos 2𝑥 2 :

1− cos 4𝑥 2 + 1− cos 6𝑥 2 + 1− cos 8𝑥 2 + 1− cos 10𝑥 2 =2 ⇔ cos 4𝑥+ cos 6𝑥+ cos 8𝑥+ cos 10𝑥=0⇔

cos 4𝑥+ cos 10𝑥 + cos 6𝑥+ cos 8𝑥 =0 .

Преобразуем суммы косинусов в произведения: 2 cos 7𝑥 cos 3𝑥+2 cos 7𝑥 cos 𝑥=0 .
2 cos 7𝑥∙ cos 3𝑥+ cos 𝑥 =0 ⇔ 4 cos 7𝑥 cos 2𝑥 cos 𝑥=0 ⇔ cos 7𝑥=0, cos 2𝑥=0, cos 𝑥=0; ⇔ 7𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 2𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍, 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑚, 𝑚∈𝑍.
Ответ: 𝑥= 𝜋 14 + 𝜋𝑘 7 , 𝑘∈𝑍; 𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑛 2 , 𝑛∈𝑍; 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑚, 𝑚∈𝑍.

Слайд #14

12. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥+ 𝜋 4 + 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥− 𝜋 4 + 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥= 23 16 .
 
Решение: 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥+ 𝜋 4 + 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥− 𝜋 4 + 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥= 23 16 ⇔
⇔ 1− cos 2𝑥+ 𝜋 2 2 2 + 1− cos 2𝑥− 𝜋 2 2 2 + 1− cos 2𝑥 2 2 = 23 16 .
Применим формулы приведения: 𝑐𝑜𝑠 2𝑥+ 𝜋 2 =− 𝑠𝑖𝑛 2𝑥; 𝑐𝑜𝑠 2𝑥− 𝜋 2 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 −2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥.
Умножив уравнение на 4, получим 1+ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2 + 1− 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2 + 1− 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2 = 23 4 .
1+2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥+1−2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥+1−2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥= 23 4 ⇔
⇔ 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥−2 cos 2𝑥= 23 4 −4 ⇔1− 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥−2 cos 2𝑥= 7 4 .
Сделаем замену t=cos 2x: 𝑡 2 +2𝑡+ 3 4 =0 ⇔ 𝑡=− 1 2 , 𝑡=− 3 2 , −1≤𝑡≤1; ⇔𝑡=− 1 2 .
Значит, 𝑐𝑜𝑠 2𝑥=− 1 2 ⇔2𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 ⇔𝑥=± 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
 
Ответ: 𝑥=± 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #15

4) Введение вспомогательного угла
Применение формулы 𝒂𝒔𝒊𝒏 𝒙±𝒃𝒄𝒐𝒔 𝒙= 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ∙𝒔𝒊𝒏 𝒙±𝝋 .
13. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥=1.
 
Решение: 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥=1⇔ 2 1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 3 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =1 ⇔2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 𝜋 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =1⇔ 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝜋 3 = 1 2 ⇔
𝑥+ 𝜋 3 = −1 𝑘 𝜋 6 +𝜋𝑘 или 𝑥+ 𝜋 3 = 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑥+ 𝜋 3 = 5𝜋 6 +2𝜋𝑚; ⇔ 𝑥=− 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍, 𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑚, 𝑚∈𝑍.
 
Ответ: 𝑥=− 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍, 𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑚, 𝑚∈𝑍.

Слайд #16

14. Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 10𝑥+𝑐𝑜𝑠 10𝑥= 2 ∙𝑐𝑜𝑠 16𝑥.
 
Решение: 𝑠𝑖𝑛 10𝑥+𝑐𝑜𝑠 10𝑥= 2 ∙𝑐𝑜𝑠 16𝑥 ⇔ 2 1 2 𝑠𝑖𝑛 10𝑥+ 1 2 𝑐𝑜𝑠 10𝑥 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 16𝑥 ⇔
 
⇔ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 𝑠𝑖𝑛 10𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠 10𝑥 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 16𝑥 ⇔ 𝑐𝑜𝑠 10𝑥− 𝜋 4 − 𝑐𝑜𝑠 16𝑥=0.

Разность косинусов преобразуем в произведение: 2 𝑠𝑖𝑛 10𝑥− 𝜋 4 +16𝑥 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 16𝑥−10𝑥+ 𝜋 4 2 =0 ⇔
 
⇔𝑠𝑖𝑛 13𝑥− 𝜋 8 ∙ 𝑠𝑖𝑛 3𝑥+ 𝜋 8 =0.
Тогда 𝑠𝑖𝑛 3𝑥+ 𝜋 8 =0, 𝑠𝑖𝑛 13𝑥− 𝜋 8 =0, ⇔ 3𝑥+ 𝜋 8 =𝜋𝑘, 13𝑥− 𝜋 8 =𝜋𝑛, ⇔ 𝑥=− 𝜋 24 + 𝜋𝑘 3 , 𝑘∈𝑍, 𝑥= 𝜋 104 + 𝜋𝑛 13 , 𝑛∈𝑍.

Ответ: 𝑥=− 𝜋 24 + 𝜋𝑘 3 , 𝑘∈𝑍, 𝑥= 𝜋 104 + 𝜋𝑛 13 , 𝑛∈𝑍.

Слайд #17

5) Использование свойства ограниченности функций
15. Решите уравнение : sin 2𝑥− sin 6𝑥+2=0.

Решение: 𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝑠𝑖𝑛 6𝑥+2=0 ⇔ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝑠𝑖𝑛 6𝑥=−2⇔ 𝑠𝑖𝑛 6𝑥=1, 𝑠𝑖𝑛 2𝑥=−1, ⇔

6𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 2𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘, ⇔ 𝑥= 𝜋 12 + 𝜋𝑛 3 , 𝑛∈𝑍, 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Из последней системы получаем уравнение в целых числах: 𝜋 12 + 𝜋𝑛 3 =− 𝜋 4 +𝜋𝑘 | ∙ 12 𝜋 ⇔

⇔1+4𝑛=−3+12𝑘 ⇔𝑛= −4+12𝑘 4 =3𝑘−1.

Тогда 𝑥= 𝜋 12 + 𝜋𝑛 3 = 𝜋 12 + 𝜋 3𝑘−1 3 = − 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Ответ: 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #18

16. Решите уравнение: sin 5𝜋𝑥 4 = 𝑥 2 −4𝑥+5.

Решение: Рассмотрим функцию 𝑦= 𝑥 2 −4𝑥+5: 𝑦= 𝑥−2 2 +1≥1.

Значит, 𝑦≥1 при 𝑥∈𝑅, но sin 5𝜋𝑥 4 ≤1 при любом 𝑥.

Получили, что уравнение может иметь решения, только если

𝑠𝑖𝑛 5𝜋𝑥 4 =1, 𝑥−2 2 +1=1; ⇔ 𝑠𝑖𝑛 5𝜋𝑥 4 =1, 𝑥=2; ⇔ 𝑥=2.

Ответ: 𝑥=2.

Слайд #19

Решите самостоятельно:

𝑠𝑖𝑛 2𝑥=3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=1+4𝑠𝑖𝑛 𝑥
2𝑐𝑜𝑠 2𝑥+2𝑐𝑜𝑠 𝑥∙ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥=𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 2𝑥+2𝑠𝑖𝑛 𝑥−3𝑐𝑜𝑠 𝑥=3
2𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2𝑥=2𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 3 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥=1
2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥=2
8𝑠𝑖𝑛 𝑥∙𝑐𝑜𝑠 2𝑥∙𝑐𝑜𝑠 𝑥= 3
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥= 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥+𝑐𝑜𝑠 3𝑥= 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑠𝑖𝑛 2𝑥+𝑠𝑖𝑛 3𝑥+𝑠𝑖𝑛 4𝑥=0
𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 9𝑥=1,5
Проверьте ответы:

𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
𝑥= −1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 6 −2 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘∈𝑍.
𝑥=𝜋+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝑥= 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝑥=2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘∈𝑍; 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
𝑥= −1 𝑘 𝜋 12 + 𝜋𝑘 4 , 𝑘∈𝑍.
𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.
𝑥= 𝜋 12 + 2𝜋𝑘 3 , 𝑘∈𝑍.
𝑥= 2𝜋𝑘 5 ; 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛 ; 𝑥=𝜋+2𝜋𝑚, 𝑘, 𝑚, 𝑛∈𝑍.
𝑥= 𝜋 24 + 𝜋𝑘 12 , 𝑘∈𝑍; 𝑥=± 𝜋 9 + 𝜋𝑛 3 , 𝑛∈𝑍.

Слайд #20

Спасибо за внимание!