Презентация по теме "Решение простейших тригонометрических уравнений" (10 класс)

Слайд #1

Решение простейших
Тригонометрических
уравнений

Слайд #2

Решение тригонометрического уравнения фактически заключается в его сведении к уравнениям следующего вида: sin 𝑥=𝑎, cos 𝑥=𝑎, 𝑡𝑔 𝑥=𝑎 или 𝑐𝑡𝑔 𝑥=𝑎 .

Тригонометрические уравнения такого вида называются простейшими и решаются с использованием тригонометрического круга. Для этого значение a одной из четырех тригонометрических функций отмечается на соответствующей оси, и определяются соответствующие ему значения аргумента x.

Слайд #3

Уравнение 𝒄𝒐𝒔 𝒙=𝒂
𝒂∈ −𝟏;𝟏
x=± 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒂+𝟐𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁
Для a = 0; 1 формула, описывающая множество корней, приобретает более простой вид:

𝑎=0: 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;

𝑎=1: 𝑥=2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;

𝑎=−1: 𝑥=𝜋+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #4

Пример 1. Решите уравнения:

а) cos 𝑥= 1 3 :
𝑥=± arccos 1 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 .

б) cos 𝑥=−0,1
𝑥=± arccos −0,1 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍

или 𝑥=± (π−arccos 0,1)+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

в) cos 𝑥= 5 2 :
Уравнение не имеет решений, так как 5 2 >1.

Слайд #5

Уравнение 𝒔𝒊𝒏 𝒙=𝒂
𝒂∈ −𝟏;𝟏
Из рисунка видно, что каждому значению
𝑎∈ −1;1 соответствует две точки на окружности, задающие 2 множества корней:

𝑥= arcsin 𝑎+2𝜋𝑘 𝑥=𝜋− arcsin 𝑎+2𝜋𝑘 , 𝑘∈𝑍

Эти 2 множества можно объединить в одно следующим образом:

𝑥= −1 𝑘 arcsin⁡𝑎+𝜋𝑘, 𝑘∈Z.

В этом можно убедиться, подставив в последнюю формулу 𝑘=2𝑛 (четное k) и
𝑘=2𝑛+1 (нечетное k).
𝐱= −𝟏 𝐤 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧⁡𝐚+𝛑𝐤, 𝐤∈𝐙.

Слайд #6

Для a = 0; 1 формула, описывающая множество корней, приобретает более простой вид:

𝑎=0: 𝑥=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;


𝑎=1: 𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;


𝑎=−1: 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #7

Пример 2. Решите уравнения:

а) sin 𝑥= 1 4 :
𝑥= −1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 .

б) sin 𝑥= 𝜋 4 :
𝑥= −1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 .

в) sin 𝑥=− 𝜋 3 :
Уравнение не имеет решений, так как − 𝜋 3 <−1.

Слайд #8

Уравнение 𝒕𝒈 𝒙=𝒂
𝒂∈𝑹

𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒂+𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁

Слайд #9

Уравнение 𝐜𝒕𝒈 𝒙=𝒂
𝒂∈𝑹
𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈 𝒂+𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁

Слайд #10

Пример 3. Решите уравнения:

а) 𝑡𝑔 𝑥=−3:
𝑥= arc𝑡𝑔 (−3)+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 или 𝑥=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

б) tg 𝑥= 1 2
𝑥= arc𝑡𝑔 1 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
в) c𝑡𝑔 𝑥=− 3 3 :
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 − 3 3 +𝜋𝑘 ⇔ 𝑥= 2𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

г) 𝑐𝑡𝑔 𝑥=−5:
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 −5 +𝜋𝑘 или 𝑥=𝜋−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔5+𝜋𝑘∈𝑍.
.

Слайд #11

Пример 4.
Решите уравнения:

2𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 − 𝜋 6 = 3 :

𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 − 𝜋 6 = 3 2
𝑥 2 − 𝜋 6 =± arccos 3 2 +2𝜋𝑘

𝑥 2 − 𝜋 6 =± 𝜋 6 +2𝜋𝑘

𝑥 2 = 𝜋 6 ± 𝜋 6 +2𝜋𝑘

𝑥= 𝜋 3 ± 𝜋 3 +4𝜋𝑘

𝒙= 𝟐𝝅 𝟑 +𝟒𝝅𝒌 𝒙=𝟒𝝅𝒌 , 𝒌 ∈𝐙.

б) 2𝑠𝑖𝑛 3𝑥− 𝜋 4 =− 2 :

𝑠𝑖𝑛 3𝑥− 𝜋 4 =− 2 2

3𝑥− 𝜋 4 = −1 𝑘 − 𝜋 4 +𝜋𝑘 (1)
Но дальнейшая работа с такой формулой не всегда удобна, поэтому перейдем к совокупности двух серий решений, подставив четное и нечетное 𝑘 в формулу (1) или сразу воспользовавшись тригонометрическим кругом.

3𝑥− 𝜋 4 =− 𝜋 4 +2𝜋𝑘 3𝑥− 𝜋 4 =𝜋− − 𝜋 4 +2𝜋𝑘

3𝑥=2𝜋𝑘 3𝑥= 3𝜋 2 +2𝜋𝑘

𝒙= 𝟐𝝅𝒌 𝟑 𝒙= 𝝅 𝟐 + 𝟐𝝅𝒌 𝟑 , 𝒌∈𝒁

Слайд #12

в) 𝑡𝑔 𝜋 5 −2𝑥 +3= 7 :

−𝑡𝑔 2𝑥− 𝜋 5 = 7 −3
𝑡𝑔 2𝑥− 𝜋 5 =3− 7
2𝑥− 𝜋 5 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3− 7 +𝜋𝑘
2𝑥= 𝜋 5 +𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3− 7 +𝜋𝑘

𝒙= 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟑− 𝟕 + 𝝅𝒌 𝟐 , 𝒌∈𝒁

Слайд #13

Пример 5. Решите уравнение: 3 𝑠𝑖𝑛 2 𝜋 4 −2𝑥 +5𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 −2𝑥 −2=0
Пусть 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 −2𝑥 =𝑡, тогда 𝑡∈ −1;1 .
Получим квадратное уравнение 3 𝑡 2 +5𝑡−2=0.
Откуда 𝑡= 1 3 𝑡=−2 −1≤𝑡≤1 ⇔𝑡= 1 3 .
Сделаем обратную замену : 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 −2𝑥 = 1 3 .
𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝜋 4 =− 1 3
2𝑥− 𝜋 4 = −1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 − 1 3 +𝜋𝑘
2𝑥= 𝜋 4 + −1 𝑘+1 arcsin 1 3 +𝜋𝑘


𝑥= 𝜋 8 + −1 𝑘+1 2 arcsin 1 3 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘∈𝑍

Слайд #14

Пример 6. Решите уравнение для каждого значения параметра 𝑎: 𝑠𝑖𝑛 2𝑥− 𝜋 3 = 𝑎−1 𝑎+1 .

Определим значения параметра , при котором уравнение имеет решения. Для этого решим систему неравенств: 𝑎−1 𝑎+1 ≤1, 1 𝑎−1 𝑎+1 ≥−1. 2

1 : 𝑎−1 𝑎+1 ≤1 ⇔ 𝑎−1−𝑎−1 𝑎+1 ≤0 ⇔ 2 𝑎+1 ≥0 ⇔ 𝑎>−1.

2 : 𝑎−1 𝑎+1 ≥−1 ⇔ 𝑎−1+𝑎+1 𝑎+1 ≥0 ⇔ 2𝑎 𝑎+1 ≥0 ⇔ 𝑎<−1, 𝑎≥0.

Получили 𝑎>−1, 𝑎<−1, 𝑎≥0. ⇔ 𝑎≥0.
Тогда при 𝑎≥0 имеем: 2𝑥− 𝜋 3 = −1 𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎−1 𝑎+1 +𝜋𝑘 ⇔𝑥= 𝜋 6 + −1 𝑘 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎−1 𝑎+1 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘∈𝑍.
При 𝑎<0 уравнение решений не имеет.

Ответ: 𝑥= 𝜋 6 + −1 𝑘 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎−1 𝑎+1 + 𝜋𝑘 2 , 𝑘∈𝑍 при 𝑎≥0; нет решений при 𝑎<0.

Слайд #15

Решите самостоятельно следующие уравнения:
3 𝑡𝑔 𝑥 3 + 𝜋 6 =3
sin 𝑥 2 − 𝜋 6 +1=0
2𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 −3𝑥 = 2
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 3 + 𝜋 3 =−1
3+5𝑡𝑔 𝜋 7 −𝑥 =18
2 𝑡𝑔 2 2𝑥+7𝑡𝑔 2𝑥−15=0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥− 𝜋 6 +2 cos 𝑥− 𝜋 6 −3=0
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 ∙𝑡𝑔 𝑥+ 1 2 − 1 2 cos 𝑥=0

Слайд #16

Проверьте ответы:

𝑥= 𝜋 2 +3𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
𝑥=− 2𝜋 3 +4𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
𝑥= 2𝜋𝑘 3 ; 𝑥= 𝜋 6 + 2𝜋𝑛 3 , 𝑘∈𝑍,𝑛∈𝑍
𝑥=− 3𝜋 2 +6𝜋𝑘; 𝑥= 5𝜋 2 +6𝜋𝑛, 𝑘∈𝑍,𝑛∈𝑍
𝑥= 𝜋 7 −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
𝑥=− 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5+ 𝜋𝑘 2 ; 𝑥= 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3 2 + 𝜋𝑛 2 , 𝑘∈𝑍,𝑛∈𝑍
𝑥= 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘; 𝑥=2𝜋𝑛, 𝑘∈𝑍,𝑛∈𝑍

Слайд #17

Спасибо за внимание!