Презентация по теме "Применение производной к практическим задачам"

Слайд #1

ГАПОУ «КЫЗЫЛСКИЙ ТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ»
Решение практических задач
с применением производной
к исследованию функции на наибольшее и наименьшее значение.

Общеобразовательная дисциплина: математика
Муравьева Л.А.,
преподаватель математики
ГАПОУ КТТ

Слайд #2

Цель: Создать условия для практического применения знаний по производной при решении задач: соединение теории и практики;
узнать, как применение производной может изменить экономику, и как можно повлиять на жизненные ситуации в практической и производственной деятельности.

Основополагающий вопрос
Научиться решать задачи на наибольшее и наименьшее значение функции различными методами дифференциального исчисления, найти универсальный способ и алгоритм решения.


В работе приводятся краткие теоретические сведения
по производной, рассматриваются примеры практических задач, требующих нахождение наибольшего и наименьшего значения.

Слайд #3

Задачи:
Образовательные;
- определить ключевые понятия, связанные с производной;
- совершенствовать ЗУН использования алгоритма производной при исследовании функции на экстремумы и нахождение наибольшего и наименьшего значения функции; сформировать понятие составления функции по тексту задачи;
- определить алгоритм решения практических задач на оптимизацию величин.
Развивающие:
- развитие визуального, наглядно-образного и др. типов мышления, развитие интеллекта: пространственные абстракции, их общность, анализ и синтез; развитие внимания, логическое мышления при решении задач, нестандартном применении знаний; умение оценивать свои знания и возможности;
Воспитательные:
- воспитание культура учебного труда; уважительное отношение к мнению других при обсуждении вопросов;

Слайд #4

Я не могу ЭТО сделать (не умею, не получается).
Я хочу ЭТО сделать.
Как мне ЭТО сделать?
Я пытаюсь ЭТО сделать.
Я должен ЭТО сделать!
Я могу ЭТО сделать!
Я ЭТО сделаю! Я ЭТО умею делать!
Ступени познания:

Слайд #5

Леонардо да Винчи
Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет.

Слайд #6

«Ключевые» понятия, связанные с производной
Нахождение значения производной в данной точке.
Нахождение углового коэффициента, угла наклона касательной к графику функции в данной точке касания. Составление уравнения касательной, проведенной к функции в данной точке (геометрический смысл производной).
Нахождение скорости и ускорения функции (физический или механический смысл производной).
Нахождение промежутков монотонности функции (возрастания и убывания).
Нахождение точек экстремума (точек максимума и минимума).
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Определение выпуклости и вогнутости функции
в данной точке.

Слайд #7

АЛГОРИТМ решения задач на наибольшее и наименьшее значение:
Перевести текст задачи на математический язык: схема, чертеж, рисунок, краткую запись, таблица.
Определить параметры и ввести функцию.
Найти производную указанной функции.
Найти стационарные точки из условия, когда производная равна нулю.
Определить принадлежность стационарных точек исследуемому интервалу.
Сравнить значения функции на концах исследуемого промежутка и в стационарных точках или в точках экстремума, если невозможно найти значения функции на концах интервала.

Слайд #8

Задача. Из углов квадратного 12х12 дм нужно вырезать квадраты так, чтобы согнув оставшийся лист, получить коробку – резервуар для воды наибольшего объема. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

V – наибольший
V = Sосн. * H
х
х
х
Введем обозначения: Н – это высота коробки или сторона квадрата, который вырезается в углах большого листа. Пусть Н = х, тогда Sосн. = (12-2х)(12-2х);
Введем функцию V(х) = (12-2х)2 * х – наибольший.
Исследуем данную функцию V(х) на набольшее значение
0
2
6
+
max
-
V,(х)

Слайд #9

Задача. Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшего к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию, чтобы затрачивать время наименьшее на передвижение между пунктами А и В, если скорость движения по железной дороге 52 км/ч, а скорость движения по шоссе равно 20 км/ч.

Железная дорога
С
Р
А
В
60 км
?
285 км
Решение.
Введем обозначения: пусть станцию Р необходимо построить на расстоянии х км, т.е. СР = х. и по теореме Пифагора находим ВР.
 
t,(х) = 0 х = 25.
Исследуем данные значения х на наименьшее значение:
t,(х)
285
25
0
+
-
min
Т.к. на исследуемом интервале точка xmin – единственная, то она совпадает с точкой, где функция принимает наименьшее значение.
Ответ: 25 км – искомое расстояние.

Слайд #10

Задача. (из области мелиорации) Проектируется оросительно-обводительный канал в районе г. Шагонара с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции с определенной площадью и высотой. Каким должен быть острый угол трапеции, чтобы для облицовки боковых стенок и дна пошло наименьшее количество материала?






х
К
Е
Д
С
В
А
 
Из АВК найдем АВ. АВ = hsinx; АК = htgx = h*ctgx ВС = АД – 2АК
 
 
 
 
Исследуем данную функцию на наименьшее значение.
 
f,(x)
-
+
60о
90о
0о
min
хmin = 60о – единственная, значит в ней функция будет принимать наименьшее значение.
Ответ: при х = 60о достигается наименьшее значение, т.е угол трапеции равен 60о.

Слайд #11

Задача. Для залива воды или бензина в канистру использовали воронку в виде конуса. Надо решить задачу, в которой известна образующая, а объем конуса – наибольший.
l
H
В
С
R
R
О
 
 
 
 
Исследуем данную функцию на наибольшее значение с помощью производной.
 
V,(x
0
 
l
-
+
max
 
 
 

Слайд #12

Задачи для групп экономико-правового отделения ЭП и ЭДС.

Задача. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 300 рублей. Вадим готов выделить 1200000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Слайд #13

Слайд #14

Выводы:
Таким образом, математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А.Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему, прежде всего, нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». Математические методы находят все более широкое практическое применение в естествознании, технике и в других областях.
Недостаточно лишь понять задачу,
необходимо желание решить её…
Где есть желание, найдется путь!
Д. Пойа

Слайд #15

Примеры задач практического направления
Задача. Туристы идут из села А, куда ходили за продуктами, находящегося на шоссейной дороге, на туристическую базу, в пункт В, расположенную в 8 км от шоссе. Расстояние от туристической базы до села по прямой составляет 17 км. В каком месте туристы должны свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти на туристическую базу в пункт В, если скорость их по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?
Задача. Для исследования магнитного поля из проволоки определенной длины надо сделать прямоугольную рамку наибольшей площади. Каковы должны быть размеры прямоугольника данного периметра, если его площадь наибольшая.
Задача. Определить, какой из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса 1 см, имеет наибольшую площадь.
Задача. Из всех прямоугольников, вписанных в треугольник с основанием а и высотой h, найти прямоугольник, имеющий наибольшую площадь (основание прямоугольника лежит на основании треугольника).
Задача. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо отправить курьера в населённый пункт, расположенный по прямой шоссе в 15 км от этой точки на шоссе. Скорость курьера на велосипеде по полю равна 8 км/ч, по шоссе – 10 км/ч. К какой точке шоссе надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта. Найти это время.

Слайд #16

«Учиться и,
когда придет время прикладывать
усвоенное к делу –
разве это не прекрасно!»
Конфуций

Слайд #17

Подведем итог:

Слайд #18

А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс», в 2 частях (учебник
и задачник), изд. Мнемозина, 2014 г.
П.К. Колмогоров «Алгебра и начала анализа». Пособие для 9- 10 класс, изд. Просвещение, 1987 г.
Н.В. Богомолов «Сборник задач по математике» для техникумов.
П.Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах», М., Высшая школа, 1980 г.
В.Н. Матвеев и др. Курс математики для техникумов, 1 часть, .М., 1977 г., с. 103-116, с.147
Г.И. Кручкович «Сборник задач по курсу высшей математики», изд. Высшая школа, М., 1973
С.Ш. Гуль, С.Ш. Саакян «Алгебра и начала анализа», Карточки- задания для СПО, изд. Просвещение, 1975 г.
А.К. Фадеев и др. Элементы высшей математики для школьников. М., Наука, 1987 г., с. 76-82
П.М.Савчук «Сборник задач по высшей математики» для техникумов. М., 1957 г., с. 53, 64-71
А.Я. Симонов и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М., Просвещение, 1991 г., с. 115-125
А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. «Справочное пособие по методам решения
задач по математике. М., Наука, 1983 г.
Литература:

Слайд #19

Творческих всем успехов !
и делать новые открытия!