Презентация по математике на тему "Квадратичная функция"

Слайд #1

Задание №10 в КИМах ЕГЭ по математике профильного уровня
(2023 год)

Решение задач по теме
«График квадратичной функции»
Презентация подготовлена
учителем математики
ГАОУ СО «Гимназия №1»
Гришиной Ириной Владимировной

Слайд #2

Задача 1 (по материалам сайта prof.mathege.ru).
На рисунке изображён график функции
f(x) = 2 𝑥 2 + bx + c.
Найдите f(-5).

Слайд #3

Решение.
Обратим внимание на то, что составители задач выделили на заданной параболе
две точки с целыми координатами.
Назовём точки А и В.

Определяем координаты точек: А(-2; -2), В(1;1).

Слайд #4

Решение (стр. 2)
Так как точки А(-2; -2) и В(1;1) принадлежат графику функции
f(x) = 2 𝑥 2 + bx + c, то подстановка их координат в эту формулу должна приводить к верным числовым равенствам.
Подставим координаты
А и В в формулу
f(x) = 2 𝑥 2 + bx + c.

Слайд #5

Решение (стр. 3)
Подставляем координаты точки А(-2; -2):
-2 = 2· (−2) 2 +𝑏 −2 +𝑐,
-2 = 8 ‒ 2b + c, то есть ‒ 2b + c = ‒10 (1)

Подставляем координаты точки В(1;1):
1 = 2· 1 2 +𝑏·1+𝑐,
то есть b + c = ‒1 (2).
Из равенств (1) и (2) составим систему уравнений и решим её.

Слайд #6

Решение (стр. 3)
‒ 2b + c = ‒10, (1) b + c = ‒1; (2) вычтем из второго равенства первое

3𝑏=9, b + c = ‒1; 𝑏=3, 𝑐=−4.
Значит, заданная функция имеет вид
f(x) = 2 𝑥 2 + 3x −4.
Тогда f(-5) = 2 (−5) 2 + 3(-5) −4 = 50 – 15 – 4= 31.
Ответ: 31.

Слайд #7

Задача 2 (по материалам сайта prof.mathege.ru).
На рисунке изображён график функции
f(x) =а 𝑥 2 + bx + c.
Найдите f(-9).

Слайд #8

Решение
Обратим внимание на то, что составители задач выделили на заданной параболе
три точки с целыми координатами.
Назовём точки А, В и С.

Определяем координаты точек: А(-5; -1), В(-3;-5), С(-2;-4).

Слайд #9

Решение (стр. 2)

Подставим координаты точек А(-5; -1),
В(-3;-5) и С(-2;-4) в формулу функции
f(x) =а 𝑥 2 + bx + c.

Слайд #10

Решение (стр. 3)
Подставляем координаты точки А(-5; -1):
-1 = а (−5) 2 + b(-5) + с,
то есть 25а – 5b +c = -1 (1).

Подставляем координаты точки В(-3;-5):
-5 = а (−3) 2 + b(-3) + с,
то есть 9а – 3b +c = -5 (2).

Подставляем координаты точки С(-2;-4):
-4 = а (−2) 2 + b(-2) + с,
то есть 4а – 2b +c = -4 (3).

Слайд #11

Решение (стр. 4)
Из равенств (1), (2) и (3) составим систему уравнений

25а – 5b +c = −1, (1) 9а – 3b +c = −5, (2) 4а – 2b +c = −4 (3)
и решим её.
Данная система уравнений содержит три уравнения и три неизвестные. Получим из неё систему из двух уравнений с двумя неизвестными, для чего из
(1) вычтем (2) и из (1) вычтем (3).

Слайд #12

Решение (стр. 5)
При вычитании из (1) равенства (2) получим 16а - 2b = 4 (4).
При вычитании из (1) равенства (3)
получим 21а - 3b = 3 (5).
Из уравнений (4) и (5) составим систему, разделив предварительно обе части каждого равенства соответственно на 2 и на 3:
8𝑎 −𝑏=2, 7𝑎 −𝑏=1.
Решая эту систему, получим : а = 1, b = 6.

Слайд #13

Решение (стр. 6)
Теперь осталось найти коэффициент с.
Воспользуемся для его нахождения любым уравнением первоначально составленной системы уравнений:
25а – 5b +c = −1, (1) 9а – 3b +c = −5, (2) 4а – 2b +c = −4 (3)
Например, из (3) следует, что с = − 4 − 4а + 2b.
Так как а = 1, b = 6, то с = − 4 − 4·1 + 2·6 = 4.
Итак, функция, график которой был задан по условию, имеет формулу f(x) = 𝑥 2 + 6x + 4.

Слайд #14

Завершая решение задачи, находим f(-9).

f(-9) = (−9) 2 + 6(-9) + 4 = 81 – 54 + 4 = 31.







Ответ: 31.