Презентация к уроку на тему "Арифметическая прогрессия"

Слайд #1

«Арифметическая прогрессия»
Урок решения задач
Выполнила:
студентка
ФЕМиКН
гр. МФ-14
Тихонова Ю.А.

Слайд #2

а) – 2; - 4; - 6; - 8; ...
б) – 13; - 3; 13; 23; ...
в) 2,6; 3; 3,4; 3,8; …
г) 2,5; 10; 17,5; 20 ...
д) 0,85; 0,85; 0,85; 0,85; …
е) 2; 2 2 3 ;3 1 3 ;4;…

Повторим

Слайд #3

Решение
а) 𝑎 1 =−2, 𝑑=−2
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 −2,
𝑎 𝑛 =−2𝑛, nN
в) 𝑎 1 =2,6, 𝑑=0,4
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 +0,4,
𝑎 𝑛 =0,4𝑛+2,2, nN
д ) 𝑎 1 =0,85, 𝑑=0
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 +0,
𝑎 𝑛 =0,85
е) 𝑎 1 =2, 𝑑= 2 3
𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 + 2 3 ,
𝑎 𝑛 = 2 3 𝑛+1 1 3 , nN

Слайд #4

- Что называется арифметической прогрессией?
"Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом".
Повторим

Слайд #5

Повторим

Укажите рекуррентную формулу арифметической прогрессии
an+1 = an + d, где d – разность арифметической прогрессии
Укажите формулу n-ого члена арифметической прогрессии
𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +𝑑∙(𝑛−1) , nN

Слайд #6

Почему такая прогрессия названа арифметической? Каким характеристическим свойством она обладает?
 
"Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов".
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 + 𝑎 𝑛−1 2 , 𝑛>1, nN

Повторим

Слайд #7

Задача 1
Доказать, что последовательность, заданная формулой 𝑎 𝑛 =1,5+3𝑛, является арифметической прогрессией.
Дано: 𝑎 𝑛 =1,5+3𝑛
Доказать: 𝑎 𝑛 −арифметическая прогрессия
Доказательство: По определению арифметической прогрессии требуется доказать, что разность 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 одна и та же для всех n (не зависит от n).
Запишем (n+1)-й член данной последовательности: 𝑎 𝑛+1 =1,5+3 𝑛+1 .
Поэтому 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 =1,5+3 𝑛+1 − 1,5+3𝑛 =3.
Следовательно, разность 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 не зависит от n. 𝑎 𝑛 =1,5+3𝑛- арифметическая прогрессия.

Слайд #8

Задача 2
В арифметической прогрессии 𝑎 11 + 𝑎 13 =122, 𝑑=−1,1. Найти 𝑎 12 и формулу n-го члена.
Дано:  𝑎 𝑛 −арифметическая прогрессия,   𝑎 11 + 𝑎 13 =122, d = -1,1.
Найти:  𝑎 12 и формулу n-ого члена
Ре­ше­ние:
Вос­поль­зу­ем­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским свой­ством ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 
𝑎 12 = 𝑎 11 + 𝑎 13 2 = 122 2 =61. 
𝑎 12 = 𝑎 1 +11𝑑;
61= 𝑎 1 +11∙ −1,1 ;
𝑎 1 =73,1.
Значит, 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑑=73,1+ 𝑛−1 ∙(−1,1)=74,2−1,1𝑛
Ответ:  𝑎 12 =61 и 𝑎 𝑛 =74,2−1,1𝑛

Слайд #9

Задача 3
Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 5, а число 𝟗𝟓 стоит в этой последовательности на 101– м месте. Найдите разность арифметической прогрессии.
Дано: (𝑎 𝑛 )−арифметическая прогрессия, 𝑎 1 =5, 𝑎 101 =95
Найти: 𝑑
Решение:
𝑎 101 = 𝑎 1 +100𝑑
т.к. 𝑎 1 =5, 𝑎 101 =95;то 95=5+100𝑑;
100𝑑=90;
𝑑=0,9
Ответ: 𝑑=0,9

Слайд #10

В арифметической прогрессии 𝑎 8 =130 и 𝑎 12 =166. Найти 𝑎 1 и  𝑑.
Дано:  (𝑎 𝑛 )−арифметическая прогрессия,   𝑎 8 =130; 𝑎 12 =166
Найти: 𝑎 1 и  𝑑
Ре­ше­ние: Используя формулу n-го члена находим:
𝑎 8 = 𝑎 1 +7𝑑, 𝑎 12 = 𝑎 1 +11𝑑
Подставив в эти выражения данные значения 𝑎 8 и 𝑎 12 , получим систему уравнений относительно 𝑎 1 и 𝑑:
𝑎 1 +7𝑑=130, 𝑎 1 +11𝑑=166.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем: 4d=36, d=9.
Следовательно, 𝑎 1 =130−7𝑑=130−63=67.
Ответ: d=9, 𝑎 1 =67

Задача 4.

Слайд #11

Из учебника: №235 (1), №241 (1), №244(1), №247 (1).

Домашнее задание