Презентация на тему "Целые числа и квадратный трёхчлен"

Слайд #1

Целые числа и квадратный трёхчлен

Слайд #2

w
Из года в год не теряют своей актуальности задачи, при решении которых используются свойства целых чисел. Эти задачи встречаются и в Едином государственном экзамене по математике, и едва ли не в каждом варианте различных олимпиад.

Задачи на целые числа всегда считались одними из наиболее сложных задач, предлагаемых учащимся старших классов. Это объясняется отсутствием единого метода или даже нескольких методов их решения.

Слайд #3

При этом решение большинства подобных задач не содержит теоретического материала, выходящего за рамки программы курса математики средней школы. Более того, теория в каком-то смысле здесь вообще сведена к минимуму.
К примеру, для решения задач на целые числа совершенно не обязательно знать все формулы тригонометрии. Но что совершенно необходимо, так это умение логически мыслить, охватывать всю задачу целиком, как говорят шахматисты, «просчитывать на несколько ходов вперёд».

Слайд #4

Рассмотрим задачи на целые числа, связанные с квадратным трёхчленом
Для этого вспомним:
формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:
Если х1 и х2 корни квадратного трёхчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2)
2) теорему Виета:
Если х1 и х2 корни квадратного уравнения aх2 + bx + c = 0, а ≠ 0, то
х1 + х2 = – 𝑏 𝑎 , х1 · х2 = с 𝑎

Слайд #5

Итак примеры некоторых заданий
Квадратный трехчлен f(x)=x2+px+q имеет два различных целых корня. Один из корней уравнения и его значение в точке x=11 являются простыми числами. Найти корни трехчлена.
Решение: Пусть x1 и x2 – корни уравнения f(x) =0, тогда x2+px+q=(x – x1)(x - x2)
f(11) = (x1 – 11)(x2 - 11)
По условию задачи f(11) - простое число, значит или

Решая системы получаем, что один из корней, например х1=12, значит другой х2 – простое число, при этом оно на 11 больше другого простого числа. Находим, что х2=13, а f(11)=2.
или
Ответ: х1=12, х2=13

Слайд #6

Найти все значения параметра a, при которых неравенство 16x + a < 30 . 4x не имеет ни одного целочисленного решения.
Решение:
Запишем исходное неравенство в виде 42x – 30 . 4x + а < 0, сделаем замену переменной 4x=t, тогда неравенство примет вид t2 – 30t + a < 0
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, при D < 0 данное неравенство не будет иметь решений. D = 900 – 4a < 0 при a > 225.
Рассмотрим случай, когда D > 0, и найдем значения параметра а, при которых неравенство не будет иметь целочисленных решений.

Слайд #7

Обратимся к графику. Найдем вершину и несколько точек. Вершина параболы лежит на прямой х = 15. При х = 1 t = 4, при х = 2 t = 16, при х= 3 t = 64.
Таким образом, если t = 16 не попадает в промежуток (х1; х2), то целочисленных решений нет.
𝑡= 30± 900−4𝑎 2 = 15 ± 225−𝑎 , т.о 225−𝑎 <1, 225 – а < 1, a > 224
Объединив полученные значения а, получаем, что а > 224.

Ответ: неравенство не имеет целочисленных решений при а > 224

Слайд #8

Найдите все такие целые a и b, что корни уравнения
x2 + (2a + 9)x + 3b + 5 = 0
являются различными целыми числами, а коэффициенты
(2a + 9) и (3b + 5) - простыми числами.

 Решение:
Сумма корней (2а + 9) - число нечётное при любом целом а,
т.к. (х1 + х2) – это нечётное число, возможно это только тогда, когда один из целых корней чётный, другой – нечётный. В этом случае их произведение чётное простое число, а это 2:
x1x2 = 3b + 5 = 2
3b = 2 – 5
3b = – 3
b = −1

Слайд #9

Поскольку x1x2 = 2, а x1 и x2  - различные целые числа, то возможны два варианта:
Если x1 = −1, x2 = −2, тогда сумма корней равна −3, а значит
2а + 9 = 3
2а = 3 − 9
2а = − 6
а = −3

Если х1 = 1, х2 = 2, тогда сумма корней равна 3, а значит
2а + 9 = −3, а это не простое число.
Ответ: а = −3, b = −1.
Замечание: Так как корни х1 и х2 - целые числа разной чётности, то они разные числа.