Презентация "Линейное уравнение с одной переменной"

Слайд #1

Линейное уравнение с одной переменной.

Слайд #2

Одной из самых простых и важных математических моделей реальных ситуаций есть линейные уравнения с одной переменной.
3х = 12
5у - 10 = 0
2а +7 = 0
Решить линейное уравнение с одной
переменной – это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное числовое
равенство.

Слайд #3

Корень уравнения.
х + 2 = 5
х = 3
Уравнение.
Корень уравнения - значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Слайд #4

Найдём корень уравнения:
х + 37 = 85
х
37
85
=
_
х = 48
Мы решили уравнение!
4
Решили уравнение – нашли те значения переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Слайд #5

Не решая уравнений, проверь, какое из чисел является корнем уравнения.

42;
0;
14;
15 ;
87 + (32 – х) = 105

Слайд #6

Решим уравнение:

(35 + у) – 15 = 31
y = 11
35 + у
=
31
+
15
35 + у
=
46
y = 46 -35
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет

Слайд #7

Равносильные уравнения
Каждое уравнение имеет одни и
те же корни
х₁ = 2 х₂ = 3
Уравнения, которые имеют одни и
те же корни, называют
равносильными.

Слайд #8

При решении уравнений используют свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится
равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на число (не равное нулю), то
получится равносильное
уравнение.

Слайд #9

Решите уравнение и выполните проверку:

у - 35 + 12 = 32;
у – 23 = 32;
у = 32 + 23;
у = 55;
(55 - 35) + 12 = 32;
30 + 12 = 32;
32 = 32.
(у - 35) + 12 = 32;
Решение.
Ответ: 55.
Решение уравнений состоит в постепенной замене более простыми равносильными уравнениями

Слайд #10

Решите уравнение и выполните проверку:
24 - 21 + х = 10;
х + 3 = 10;
х = 10 - 3;
х = 7
(24 + 7) - 21 = 31 - 21 = 10;
Ответ: 7.
б) (24 + х) - 21 = 10;
Решение.

Слайд #11

Решите уравнение и выполните проверку:
45 + 18 - у = 58;
63 - у = 58;
у = 63 - 58;
у = 5
(45 - 5) + 18 = 40 + 18 = 58.
Ответ: 5.
Решение.
в) (45 - у) + 18 = 58;

Слайд #12

12
Уравнение вида:
aх + b = 0
называется линейным уравнением
с одной переменной (где х – переменная,
а и b некоторые числа).
Внимание!
х – переменная входит в уравнение
обязательно в первой степени.
(45 - у) + 18 = 58
линейное уравнением
с одной переменной
3х² + 6х + 7 = 0
не линейное уравнением
с одной переменной

Слайд #13

Решите уравнение :
2(3х - 1) = 4(х + 3)
2(3х - 1) = 4(х + 3)
6х – 2 = 4х + 12
6х – 4х = 2 + 12
2х = 14
х = 14 : 2
х = 7
- уравнение имеет 1 корень
Решение.

Слайд #14

уравнение имеет бесконечно много корней
Решите уравнение :
2(3х - 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
Приведем к стандартному виду:
aх + b = 0
2(3х - 1) = 4(х + 3) – 14 + 2х
6х – 2 = 4х + 12 – 14 + 2х
6х – 4x - 2х = 2 + 12 – 14
0 · x = 0
При подстановке любого значения х получаем
верное числовое равенство:
0 = 0
x – любое число
(а = 0, b = 0)

Слайд #15

15
Уравнение корней не имеет
Решите уравнение :
2(3х - 1) = 4(х + 3) + 2х
Приведем к стандартному виду:
aх + b = 0
2(3х - 1) = 4(х + 3) + 2х
6х – 2 = 4х + 12 + 2х
6х – 4x - 2х -2 - 12 = 0
0 · x - 14 = 0
При подстановке любого значения х получаем
неверное числовое равенство:
-14 = 0
(а = 0, b = -14)

Слайд #16

Вспомним!
При решении задачи четко выполнены три этапа:
Получение математической модели.
Обозначают неизвестную в задаче величину буквой,
используя эту букву, записывают другие величины,
составляют уравнение по условию задачи.
2) Работа с математической моделью.
Решают полученное уравнение,
находят требуемые по условию задачи величины.
3) Ответ на вопрос задачи.
Найденное решение используют для ответа на вопрос задачи
применительно к реальной ситуации.
Математическая модель позволяет анализировать
и решать задачи.

Слайд #17

17
Задача:
Три бригады рабочих изготавливают игрушки к Новому году. Первая бригада
сделала шары. Вторая бригада изготавливает сосульки и сделала их на 12 штук больше, чем шаров. Третья бригада изготавливает снежинки и сделала их на 5 штук меньше, чем изготовлено шаров и сосулек вместе. Всего было сделано 379 игрушек. Сколько в отдельности изготовлено шаров, сосулек и снежинок?
Шары –
Сосульки –
Снежинки -
?
?
на 12 шт. больше, чем
?
?
- на 5 шт. меньше, чем
Получение математической модели.
Обозначим шары –
сосульки –
снежинки -
х (шт.)
х + 12 (шт.)
х + х + 12 = 2х + 12 (шт.)
2х + 12 – 5 = 2х + 7 (шт.)
Так как по условию всего было сделано 379 игрушек, то составим уравнение:
х + (х + 12) + (2х + 7) = 379
математическая
модель ситуации
линейное уравнением с одной переменной

Слайд #18

2) Работа с математической моделью.
х + ( х + 12) + (2х + 7) = 379
х + х + 12 + 2х + 7 = 379
Решение :
4х + 19 = 379
4х = 379 - 19
4х = 360
х = 360 : 4
х = 90
90 шт. - шаров
х + 12 = 90 + 12 = 102 (шт.) - сосульки
2х + 7 = 2 · 90 + 7 = 187 (шт.) - снежинок
3) Ответ на вопрос задачи:
90 шт. – шаров,
102 (шт.) – сосульки,
187 (шт.) - снежинок

Слайд #19

Ответить на вопросы:
Что называется уравнением?
Что называется корнем уравнения? Сколько корней
может иметь уравнение?
3. Какие уравнения называются равносильными?
Сформулируйте основные свойства уравнений.
Стандартный вид линейного уравнения.
Какое уравнение называется линейным?

Слайд #20

Квадратные уравнения.

Слайд #21

Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ах2 + bx + c = 0,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

3х2 - 2x + 7 = 0;-3,8х2 + 67 = 0;
18х2 = 0 .
Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.

Слайд #22

Коэффициенты квадратного уравнения
Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
ах2 + bx + c = 0,

старший второй свободный
коэффициент коэффициент член

3х2 + 4x - 8 = 0,

старший второй свободный
коэффициенткоэффициентчлен

Слайд #23

Неполное квадратное уравнение
Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным.

-11х2 = 0;
5х2 + 13х = 0;
-24х2 +1 = 0.

Слайд #24

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
ах2 + c = 0, где с ≠ 0.
Тогда

Если ,то корни



а)

б) -х2-4 = 0 х2 = -4нет корней.
Если ,

то корней нет .

Слайд #25

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
2. ах2 + bx = 0, где b ≠ 0.

Тогда x ∙ (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = .

а) 2х2 + 7x = 0x ∙ (2x +7) = 0
х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х = .
Ответ: 0 и -3,5.

б) -х2 + 5x = 0 -x ∙ (x - 5) = 0 х = 0 или х =5.
Ответ: 0 и 5.

Слайд #26

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
3. ах2 = 0
Имеем единственный корень х = 0 .

128х2 = 0 х2 = 0 х = 0.
-3,8х2 = 0 х2 = 0 х = 0.

Слайд #27

Метод выделения полного квадрата
Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0.
Решение.
х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 =
= (х + 7)2 – 25.
(х + 7)2 – 25 = 0,
(х + 7)2 = 25.
х + 7 = -5 или х + 7 = 5.
х1 = -12;х2 = -2.
Ответ: -12; -2.

Слайд #28

Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0
можно найти по формуле

, где D = b2 – 4ac -

дискриминант квадратного уравнения.

Слайд #29

Формула корней квадратного уравнения
Возможны 3 случая:
1. D > 0.
Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

, .

2х2 + 7x - 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 – 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 81 > 0,


,
.

Слайд #30

Формула корней квадратного уравнения
2. D = 0.
Тогда уравнение имеет единственный корень:



х2 - 4x + 4 = 0.
D = (-4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0,

Слайд #31

Формула корней квадратного уравнения
3. D < 0.
Тогда уравнение не имеет корней,
т. к. не существует

3х2 - x + 7 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙ 3 ∙ 7 = -83 < 0,
значит корней нет.

Слайд #32

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Если b = 2k, то корни уравнения
ах2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле



где

Слайд #33

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнение
1. х2 + 18x + 32 = 0.
а = 1; b = 18 k = b : 2 = 9; c = 32.
D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 ∙ 32 = 49 > 0,
значит уравнение имеет 2 корня:

Слайд #34

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнения
2. 3х2 + 2x + 1 = 0.
а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1.
D1 = D : 4 = 12 – 1 ∙ 3 = -2 < 0,
значит корней нет.

3. 196х2 - 28x + 1 = 0.
а = 196; b = -28 k = b : 2 = -14; c = 1.
D1 = D : 4 = (-14)2 – 196 = 0,

значит уравнение имеет 1 корень .

Слайд #35

Приведенное квадратное уравнение
Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 + px + q = 0.

х2 + 14x + 24 = 0.

Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент.

5х2 + 3x - 2 = 0 х2 + 0,6x – 0,4 = 0.

Слайд #36

Формула корней приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.


х2 - x - 6 = 0.
p = -1, q = -6,

Слайд #37

Теорема Виета
Теорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, то
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q

х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 - 2x - 3 = 0.
р = -2, q = -3.
х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р,
х1 ∙ х2 = -1 ∙ 3 = q.

формулы Виета

Слайд #38

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения а х2 + bx + c = 0, то




х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 - 7x + 6 = 0.
х1 + х2 = 3,5,
х1 ∙ х2 = 3.

Слайд #39

Теорема, обратная теореме Виета
Теорема. Если числа х1, х2, р и q связаны
условиями
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0.

Составим квадратное уравнение по его корням





Искомое уравнение имеет вид х2 - 4x + 1 = 0.

Слайд #40

Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называется
многочлен вида ах2 + bx + c,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – переменная.


3х2 - 2x + 7;

Корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c
– это корни уравнения ах2 + bx + c = 0 .

Слайд #41

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c, то
а х2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2 ).
Разложить на множители 12 х2 - 5x - 2.
- корни уравнения 12 х2 - 5x – 2= 0.



Значит 12 х2 - 5x – 2 =

Слайд #42

Неприводимый многочлен
Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен

(со старшим коэффициентом 1)

называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).

Квадратный трехчлен 5х2 + 3x + 2 не имеет корней.
Его невозможно разложить на множители первой
степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х2 + 3x + 2 =5(х2 + 0,6x + 0,4).

Слайд #43

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Схема решения:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.
Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Слайд #44

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе


Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2).
Умножим на него обе части уравнения:
t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1∙(t + 1)(t – 2)
t2 – 2t – t2 – 3t – 2 = t2 – t – 2
t2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0t1 = 0, t2 = -4.
Ни одно из чисел не обращает в нуль
общий знаменатель.
Ответ: 0; -4.

Слайд #45

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе


Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3) . Тогда:
2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х2 – 8х + 15 = 0
х1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0.
х2 = 5 – корень.
Ответ: 5.

Слайд #46

Биквадратные уравнения
Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0,
где а ≠ 0, b и с - заданные числа, называется
биквадратным.
9х4 + 17х2 - 2 = 0
Заменой х2 = t сводится к квадратному
уравнению.
9t2 + 17t - 2 = 0



Ответ:
Нет корней
или
или

Слайд #47

Решение уравнений методом замены неизвестного
Нет корней
Ответ: 43.

Слайд #48

Модуль
Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой.

|x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6.



а, если а > 0
|а| = -а, если а < 0
0, если а = 0


-6 О 6 х
6
6

Слайд #49

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

| х2 - 2х - 39| = 24.

х2 - 2х - 39 = 24 х2 - 2х - 39 = -24
х1 = 9; х2 = -7 х3 = -3; х4 = 5.

Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.

Слайд #50

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда эти числа равны или противоположны.

|8х2 - 4х + 1| = |3х2 + 9х - 7|.

8х2 - 4х + 1 = 3х2 + 9х – 7 8х2 - 4х + 1= –(3х2 + 9х – 7)
х1 = 1,6; х2 = 1 х3 = -1; х4 = 6/11.

Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.