Презентация по математике "Применение производной"

Слайд #1

Решение прикладных задач с помощью производной
МБОУ СОШ №199
г.Новосибирск
Учитель математики
высшей квалификационной категории
Гаврош Ольга Владимировна

Слайд #2

Пути развития математики

Прикладной (внешний –связан с необходимостью решать задачи, лежащие вне математики : счет предметов, измерение площадей и объемов , задачи экономики и техники)
Теоретический (внутренний – вытекает из необходимости систематизации найденных математических фактов : обобщение в теорию, развитие этой теории)

Слайд #3

Функции прикладной направленности математики

формирование навыков целеустремлённого составления и анализа математических моделей реальных задач;
формирование навыков отбора данных, нужных для решения задачи, прикидке их необходимой точности;
обучение выбору заранее не заданного метода исследования;
обучение решению задач, требующих для этого предварительного вывода аналитических зависимостей, задач, решение которых требует знаний из различных разделов курса;
формирование привычки доведения решения задачи до практически приемлемого результата;
формирование навыков прикидки и оценки порядков величин, действий с различными величинами, методам контроля правильности решения.

Слайд #4

Особенность прикладных задач
при их решении наряду с индуктивными рассуждениями и дедуктивной логикой входят также и правдоподобные рассуждения
( утверждения, справедливые в типичных случаях, доводы, основанные на аналогии, численном или физическом эксперименте, которые неприемлемы в чистой математике, но способствуют наведению на доказательство)

Слайд #5

Рекомендации по составлению прикладных задач

При составлении текста прикладной задачи следует применять различные формулировки условий, в том числе формулировки , в которых существенно выделена описательная часть, формулировки-рассказы, задачи-расчеты, и др., избегая однообразия, шаблона;
с целью обеспечения наглядности и лаконичности формулировок часто следует переносить некоторые элементы из словесной формулировки в чертеж, схему, диаграмму и т. д. и, показывая учащимся «чертёж –условие», добиваться самостоятельного решения;
следует понимать , что задачи прикладного характера не могут составлять отдельную дидактическую единицу, они могут быть встроены в другие содержательно-методические линии.

Слайд #6

Этапы решения прикладной задачи
создание математической модели,
решение собственно математической задачи внутри построенной модели,
перенос полученных результатов в практику.

Слайд #7

Возможные темы для составления прикладных задач


оптимизация семейного бюджета,
правильное распределение рабочего времени и времени отдыха,
критическое ориентирование в статистической, экономической и логической информации,
правильная оценка рентабельности возможных деловых партнеров и предложений,
проведение несложных инженерных и технических расчетов для практических задач,
нахождение наилучшего или оптимального значения показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д.

Слайд #8

Среди многих задач, решаемых с помощью производных, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. В задачах, встречающихся на практике, часто функция не дается готовым выражением. В таких случаях по условию задачи нужно составить соотношение, связывающее функцию с тем переменным, от которого зависит максимум или минимум функции.

Слайд #9

В презентации рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию.

Слайд #10

№1
Прямоугольников с периметром 2р имеется бесконечное множество. Выделить из этого множества прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение: х- длина одной стороны
( р-х) –длина другой стороны
х(р-х) - площадь прямоугольника
S´(х) = р - 2х, х Є [0; р]
S´(х)= 0, х=р⁄2 – в данной точке функция достигает наибольшего значения.



Ответ: Прямоугольником с наибольшей площадью является квадрат со стороной р⁄2 .

Слайд #11

№2
Из круга радиуса r вырезают симметричную звезду (рис.1), и четыре вершины A,B,C,D соединяют в вершину, образуя правильную пирамиду, в основании которой- квадрат (рис.2). Какой наибольший объем возможен?


Х- сторона квадрата
V =1 ∕3 х2 ОВ –объем
Рассмотрим треугольник ОВК. В нем: ОК= х: 2, ВК= r – х:2

Ответ: х=4r/5

Слайд #12

№3
Найдите наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус

Слайд #13

№4
В шар вписана правильная треугольная призма. Какой наибольший объем может иметь призма?

Слайд #14

№5
400-метровая беговая площадка состоит из двух параллельных прямых и двух полукругов. Какой радиус должен иметь полукруг, для того, чтобы игровая площадка имела наибольшую площадь?

Слайд #15

№6
Из квадратного листа жести со стороной 3 м требуется изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема.

Слайд #16

Задачи для самостоятельного решения
1.На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строками) S см2. Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна k см, а сверху и снизу – d см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
2. Буровая вышка расположена в поле в 9км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта?

Слайд #17

3. Представьте число 52 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 1:3.
4. Число 42 представьте в виде суммы трех положительных
слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.
5. Произведение трех последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным  знаменателем равно 343. Найдите наибольшую сумму этих трех членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.
6. Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен
с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.

Слайд #18

7. Периметр параллелограмма с острым углом 30˚ равен 4. Найти максимально возможное значение площади параллелограмма.
8. В пирамиде SABC  ребра SA и BC образуют угол 60˚, SA=4,  BC=6√3. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной SA и BC.
9. Определите наименьшую суммарную длину всех ребер прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см2, если основание его является квадратом.
10. Дана прямоугольная система координат  xOy.  Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка M (0;1), а катеты лежат на прямых  x=-2 и y=0?

Слайд #19

11. Автомобиль находится в степи в точке М, отстоящей от ближайшей точки А автотрассы на 60 км. Водитель должен попасть в точку В автотрассы, отстоящую от точки М на 110 км. Водитель подсчитал, что если он сначала доедет до точки С, которая находится на автотрассе между точками А и В, а затем по автотрассе до точки В, то на весь путь он потратит наименьшее время. Найдите расстояние от А до С, считая, что автомобиль движется по степи прямолинейно со скоростью 30км/ч, по автотрассе со скоростью 50км/ч, а автотрасса – прямая линия.
12. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй – 20% серебра и 80% меди, третий – 20% золота, 30% серебра и 50%меди. Из них получили новый сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание серебра может быть в новом сплаве?
13. Имеются три раствора. Первый содержит 80% спирта и 20% воды, второй – поровну глицерина и воды, третий – по 10% спирта и глицерина и  80% воды. Из них необходимо приготовить новый  раствор, содержащий 40% воды. Какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание глицерина может быть в этом новом растворе?

Слайд #20

Список литературы
1. Никольский С.М. Элементы математического анализа. М.: Наука, 1989.
2. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Просвещение, 2010.
3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. М.: Просвещение, 2018.
4. Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. М.: Просвещение, 2019.