Презентация "Полный дифференциал функции двух и более переменных. Решение задач."

Слайд #1

Полный дифференциал функции двух и более переменных. Решение задач.

Слайд #2

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Слайд #3

Полный дифференциал функции двух переменных

Слайд #4

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:

Слайд #5

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.

Слайд #6

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #7

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #8

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #9

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
13 апреля 2020
Красноярск
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #10

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #11

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #12

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #13

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #14

Полный дифференциал функции двух переменных

Найти полный дифференциал функции:
Решение.
Найдем частные производные

Слайд #15

Найти полный дифференциал функции:

Слайд #16

Найти полный дифференциал функции:

Слайд #17

Исследование функции многих переменных на экстремум

Слайд #18

Функция z = f(x;y) имеет максимум (минимум) в точке М0(х0;у0) если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек М(х;у), принадлежащих этой окрестности и области определения функции, значение функции в точке М0(х0;у0) больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М(х;у) из этой окрестности, т.е. выполняется условие
F(x0;y0) f(x;y) (соответственноF(x0;y0) f(x;y) )
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка М0(х0;у0), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Слайд #19

Необходимые условия существования экстремума.
Если точкаМ0(х0;у0) является точкой экстремума функции z = f(x;y), то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю. Т.е.


Такие точки называются критическими (стационарными) точками. Не всякая критическая (стационарная) точка является точкой экстремума.

Слайд #20

Достаточные условия существования экстремума.
Пусть функция z = f(x;y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности критической точки М0(х0;у0). Введем обозначения:

Слайд #21

И составим дискриминант(определитель)

Тогда точка М0(х0;у0):
Является точкой минимума, если в этой точке А>0, ∆>0;
Является точкой максимума, если в этой точке А<0, ∆>0;
Не является точкой экстремума, если в этой точке ∆<0.

Слайд #22

Пример:
Исследовать на экстремум функцию z = х2 + ху +у2 – 3х – 6у